Divisibilité - Congruences
dans Arithmétique
Bonjour,
Je réfléchis à l'exercice suivant :
Trouver les $n$ de $\N$ tels que $7 \mid 2^{2^n} + 2^n +1$.
Bon, j'ai conjecturé que $n \equiv 1 \;[6]$ ou $n \equiv 2 \;[6]$.
J'aimerais raisonner en utilisant les congruences en me limitant à des calculs simples de tête et donc sans calculatrice.
$2^3=8 \equiv 1 \; [7]$. La classe de $2^n$ modulo $7$ dépend donc de celle de $n$ modulo $3$.
Si $n \equiv 0 \; [3]$, alors $2^n \equiv 1 \; [7]$.
Si $n \equiv 1 \; [3]$, alors $2^n \equiv 2 \; [7]$.
Si $n \equiv 2 \; [3]$, alors $2^n \equiv 4 \; [7]$.
J'en tire que :
- si $n \equiv 0 \; [6]$ ou $n \equiv 3 \; [6]$, alors $2^n \equiv 1 \; [7]$ ;
- si $n \equiv 1 \; [6]$ ou $n \equiv 4 \; [6]$, alors $2^n \equiv 2 \; [7]$ ;
- si $n \equiv 2 \; [6]$ ou $n \equiv 5 \; [6]$, alors $2^n \equiv 4 \; [7]$.
J'aimerais faire la même chose avec $2^{2^n}$. On peut remarquer $2^2=4 \equiv 1 \; [3]$ mais j'ai du mal à pousuivre. Est-ce intéressant de raisonner modulo $2$ ?
Merci d'avance
Je réfléchis à l'exercice suivant :
Trouver les $n$ de $\N$ tels que $7 \mid 2^{2^n} + 2^n +1$.
Bon, j'ai conjecturé que $n \equiv 1 \;[6]$ ou $n \equiv 2 \;[6]$.
J'aimerais raisonner en utilisant les congruences en me limitant à des calculs simples de tête et donc sans calculatrice.
$2^3=8 \equiv 1 \; [7]$. La classe de $2^n$ modulo $7$ dépend donc de celle de $n$ modulo $3$.
Si $n \equiv 0 \; [3]$, alors $2^n \equiv 1 \; [7]$.
Si $n \equiv 1 \; [3]$, alors $2^n \equiv 2 \; [7]$.
Si $n \equiv 2 \; [3]$, alors $2^n \equiv 4 \; [7]$.
J'en tire que :
- si $n \equiv 0 \; [6]$ ou $n \equiv 3 \; [6]$, alors $2^n \equiv 1 \; [7]$ ;
- si $n \equiv 1 \; [6]$ ou $n \equiv 4 \; [6]$, alors $2^n \equiv 2 \; [7]$ ;
- si $n \equiv 2 \; [6]$ ou $n \equiv 5 \; [6]$, alors $2^n \equiv 4 \; [7]$.
J'aimerais faire la même chose avec $2^{2^n}$. On peut remarquer $2^2=4 \equiv 1 \; [3]$ mais j'ai du mal à pousuivre. Est-ce intéressant de raisonner modulo $2$ ?
Merci d'avance
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Réponses
$$2^{2^{n+1}} = 2^{2^n.2} = \left(2^{2^n}\right)^2$$
de $2^2 \equiv 1 \;[6]$, tu déduis dont que $2^{2^n} \equiv 1 \;[6]$ pour tout $n \geq 1$.
ce qui doit simplifier tes calculs "de tête".