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Somme de 2 entiers premiers

Envoyé par Okay 
Okay
Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
Salut tout le monde,

Un ami vient de me soumettre une question qu'il a eu lors d'un entretien d'embauche de trading. C'est sans doute pas si difficile (j'ai mis L1/L2 sans trop savoir), mais n'ayant aucune notion de théorie des nombres (mon "truc" c'est plutôt les probas), je m'en remets à vous ;)

Montrer que pour tout couple (p,q) de nombres entiers premiers, tous deux strictements supérieurs à 117, la somme p+q n'est pas un nombre premier.

Merci d'avance !
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
avatar
Peut-être parce qu'il est divisible par 2 smiling smiley

Domi
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
avatar
Et qu'il est strictement supérieur à 2 winking smiley

Ritchie
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
Ce qui est difficile ce n'est pas la question posée, mais c'est l'interprétation de "strictements supérieurs à 117"

interprétation du "nombres premiers"
interprétation du "strictement"
interprétation du "supérieur"
et interprétation du "117.

c'est une façon de jouer avec quelqu'un.
Si tu en ris, ça doit être bon,
si tu donnes la réponse sans rire, ça doit être bon,
si tu commences à avoir peur, et être impressionné, ce n'est pas bon,
si tu es démuni face au stress, ce n'est pas bon,
si tu n'arrives pas à répondre ce n'est pas bon,

On ne teste pas ton niveau en maths ici, mais simplement ton apréhension, ta concentration, et ta lucidité.
l.g
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
on test ta rapidité de réaction ! en te proposant deux entiers > 117 et en te disant qu'il sont premiers tu es supposé réflechir, donc: imp + imp = non premier!
Mais arno_nora défini trés bien le test, lucidité, apréhension..
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
Comment montrer que tout nombre strictement supérieur à 117 est la somme de deux nombres composés ?
l.g
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
1²+ pair; pour les impairs
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
1, n'est ni premier, ni composé (?)
OlivierG
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
<latex> Bonjour,

Soit $n$ entier naturel, $n>117$.
Si $n$ est pair, on écrit $n=4+(n-4)$.
Si $n$ est impair, on écrit $n=9+(n-9)$.
Dans tous les cas, $n$ s'écrit bien comme somme de deux nombres composés.

Amicalement.
Olivier.
l.g
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
grillé , dommage, j'allais pousser jusqu'à 3²+ pair = imp somme de deux composés
mais c'est vrai, que c'est moins joli qu 'Olivier
bonne soirée, il faut que je retourne au travail.
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
trop fort Olivier !
question subsidiaire : à partir de quel seuil est-ce vrai?
OlivierG
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
<latex> Bonsoir,

Pour la question subsidiaire, je répondrais $12$.
C'est clairement vrai pour $n=12=4+8$. C'est faux pour $11=2+9=3+8=4+7=5+6$.
Et c'est vrai au-delà de $13$, car dans ce cas $n-9\geq 4$ et $n-4\geq 4$.

Amicalement.
Olivier.
l.g
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
citation:
Auteurs: bs (---.w83-205.abo.wanadoo.fr)
Date: 12-06-06 17:31

1, n'est ni premier, ni composé (?)

j'allais oublier: cela se démontre en combien de lignes
.......................................................................................................................
"et 13 pour les impairs"
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
bien joué;
la référence, car c'est important à mes yeux:
Joyaux mathématiques ,Vol 1, toujours de R.Honsberger :Exo8 p20.
l.g
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
n = 4+6
4 + n-4 = 10
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
Une autre avec référence promise à la fin par respect envers l'auteur:

Soit p et q deux nombres premiers impairs successifs strictement supérieurs à 117, montrer que p+q est le produit d'au-moins trois nombres premiers, non nécessairement distincts.
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
avatar
Et à partir de quel rang tout entier peut s'écrire comme somme de deux entiers "hétérogènement composés", c'est-à-dire qui admettent au moins deux facteurs premiers distincts ?
OlivierG
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
Re, <BR> <BR>Pour bs : soient <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p&lt;q$"></SPAN> deux nombres premiers impairs successifs. Alors, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ q-p$"></SPAN> est pair. On écrit donc : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="123" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ q-p=2k,k\in\mathbb{N}$"></SPAN>. Donc, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="189" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p+q=2p+2k=2(p+k)$"></SPAN>. <BR>Mais <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="163" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p&lt;p+k&lt;p+2k=q$"></SPAN>. Donc, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p+k$"></SPAN> est composé, puisque <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ q$"></SPAN> est le nombre premier succesif à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p$"></SPAN>. <BR>On en déduit que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="116" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p+q=2(p+k)$"></SPAN> est produit d'au moins trois nombres premiers. <BR>Remarque : l'hypothèse <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="71" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p,q&gt;117$"></SPAN> est encore inutile ici. Le raisonnement reste valable pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p\geq 3$"></SPAN>. <BR> <BR>Amicalement. <BR>Olivier.<BR>
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
super Olivier !
référence : 1001 problèmes en Théorie classique des nombres de De Koninck / Mercier (Ellipses) (Exo 152)
OlivierG
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
<latex> Le "1001 problèmes en théorie classique des nombres", je le connais, et il est vraiment génial...

Pour répondre à Egorrof : dans ce cas-là, $n-4$ et $n-9$ ne fonctionnent évidemment plus (car $4$ et $9$ sont "homogènement" composés smiling smiley), et il faut les remplacer par (respectivement) $n-6$ et $n-15$.
Le problème, c'est qu'il faut gérer les cas où $n-6$ et $n-15$ sont des puissances de $2$, autrement dit, il faut traiter à part les entiers du type $2^{k}+6$ et $2^{l}+15$ (avec $k,l\in\N$).
C'est juste une piste, mais je pense qu'on doit pouvoir dire des choses...
Je vais regarder ça d'un peu plus près.

Amicalement.
Olivier.
OlivierG
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
<latex> Re,

Je précise mon message précédent : on suppose que $n\geq 31$, et on montre que $n$ est alors somme de deux entiers hétérogénement composés.

Cas où $n$ est pair :
- si $n$ n'est pas de la forme $2^{k}+6$, alors $n=6+(n-6)$ est somme de deux entiers hétérogénement composés.
- sinon, $n=2^{k}+6$ avec $k\in\N$.
On écrit dans ce cas-là : $n=(2^{k}-4)+10$ et c'est bon.

Cas où $n$ est impair :
- si $n$ n'est pas de la forme $2^{l}+15$, alors $n=15+(n-15)$ et c'est gagné.
- sinon, $n=2^{l}+15$, avec $l\in\N$. Alors, on écrit : $n=(2^{l}-6)+21$, et là encore $n$ est somme de deux entiers hétérogénement composés.

Conclusion : pour $n\geq 31$, $n$ est somme de deux entiers hétérogénement composés. Cela dit, c'est une approche assez grossière, que l'on doit pouvoir largement affiner. Au pire, on traite les cas $n
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
<latex> Bonjour

exo egoroff:
1) si n impair : $n=(n - 15) +3.5$ ; OK pour $n \geq 21$
2) si n pair:$n=(n-6) + 3.2$ ;OK pour $n \geq 12$
conclusion : le rang recherché est 21.
origine :"Trésors Arithmétiques" d'egoroff, vol.1 smiling smiley

Bonne journée.
bs
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
<latex> Bonjour,

..."deux facteurs premiers distincts" et non "deux facteurs distincts".
c'est l'approche d'Olivier qui est la bonne;

pour le seuil: 30=3x5+3x5;29=3x5+2x7;28=11x2+2x3;27=3x5+4x3;26=4x5+3x2;
25=3x5+2x5;24=3x4+3x4;23 pas possible.
donc vrai pour $n \geq 24$
Re: Somme de 2 entiers premiers
il y a treize années
avatar
<latex> Euh trésors n'exagérons rien bs winking smiley

Comment vois-tu simplement que 23 ne marche pas ? (j'ai la flemme d'essayer toutes les possibilités). Et puisque vous avez l'air bouillants avec Olivier : à partir de quel seuil $N(k,r)$ tous les entiers peuvent-ils s'écrire comme somme de $k$ entiers ayant chacun au moins $r$ facteurs premiers distincts ?

On fait moins les malins hein !

Je vous donne une minoration pour commencer $N(k,r) \geq k \prod_{i=1}^r p_i$ où $(p_n)_{n \geq 1}$ est la suite des nombres premiers.
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