Somme de 2 entiers premiers

Okay2
Okay2
dans Arithmétique
Salut tout le monde,

Un ami vient de me soumettre une question qu'il a eu lors d'un entretien d'embauche de trading. C'est sans doute pas si difficile (j'ai mis L1/L2 sans trop savoir), mais n'ayant aucune notion de théorie des nombres (mon "truc" c'est plutôt les probas), je m'en remets à vous ;)

Montrer que pour tout couple (p,q) de nombres entiers premiers, tous deux strictements supérieurs à 117, la somme p+q n'est pas un nombre premier.

Merci d'avance !

Réponses

  • Domi
    Domi
    Peut-être parce qu'il est divisible par 2 :-)

    Domi
  • Ritchie
    Ritchie
    Et qu'il est strictement supérieur à 2 ;-)

    Ritchie
  • arno_nora
    arno_nora
    Ce qui est difficile ce n'est pas la question posée, mais c'est l'interprétation de "strictements supérieurs à 117"

    interprétation du "nombres premiers"
    interprétation du "strictement"
    interprétation du "supérieur"
    et interprétation du "117.

    c'est une façon de jouer avec quelqu'un.
    Si tu en ris, ça doit être bon,
    si tu donnes la réponse sans rire, ça doit être bon,
    si tu commences à avoir peur, et être impressionné, ce n'est pas bon,
    si tu es démuni face au stress, ce n'est pas bon,
    si tu n'arrives pas à répondre ce n'est pas bon,

    On ne teste pas ton niveau en maths ici, mais simplement ton apréhension, ta concentration, et ta lucidité.
  • l.g
    l.g
    on test ta rapidité de réaction ! en te proposant deux entiers > 117 et en te disant qu'il sont premiers tu es supposé réflechir, donc: imp + imp = non premier!
    Mais arno_nora défini trés bien le test, lucidité, apréhension..
  • bs1
    bs1
    Comment montrer que tout nombre strictement supérieur à 117 est la somme de deux nombres composés ?
  • l.g
    l.g
    1²+ pair; pour les impairs
  • bs1
    bs1
    1, n'est ni premier, ni composé (?)
  • OlivierG0
    OlivierG0
    Bonjour,

    Soit $n$ entier naturel, $n>117$.
    Si $n$ est pair, on écrit $n=4+(n-4)$.
    Si $n$ est impair, on écrit $n=9+(n-9)$.
    Dans tous les cas, $n$ s'écrit bien comme somme de deux nombres composés.

    Amicalement.
    Olivier.
  • l.g
    l.g
    grillé , dommage, j'allais pousser jusqu'à 3²+ pair = imp somme de deux composés
    mais c'est vrai, que c'est moins joli qu 'Olivier
    bonne soirée, il faut que je retourne au travail.
  • bs1
    bs1
    trop fort Olivier !
    question subsidiaire : à partir de quel seuil est-ce vrai?
  • OlivierG0
    OlivierG0
    Bonsoir,

    Pour la question subsidiaire, je répondrais $12$.
    C'est clairement vrai pour $n=12=4+8$. C'est faux pour $11=2+9=3+8=4+7=5+6$.
    Et c'est vrai au-delà de $13$, car dans ce cas $n-9\geq 4$ et $n-4\geq 4$.

    Amicalement.
    Olivier.
  • l.g
    l.g
    citation:
    Auteurs: bs (---.w83-205.abo.wanadoo.fr)
    Date: 12-06-06 17:31

    1, n'est ni premier, ni composé (?)

    j'allais oublier: cela se démontre en combien de lignes
    .......................................................................................................................
    "et 13 pour les impairs"
  • bs1
    bs1
    bien joué;
    la référence, car c'est important à mes yeux:
    Joyaux mathématiques ,Vol 1, toujours de R.Honsberger :Exo8 p20.
  • l.g
    l.g
    n = 4+6
    4 + n-4 = 10
  • bs1
    bs1
    Une autre avec référence promise à la fin par respect envers l'auteur:

    Soit p et q deux nombres premiers impairs successifs strictement supérieurs à 117, montrer que p+q est le produit d'au-moins trois nombres premiers, non nécessairement distincts.
  • egoroff
    egoroff
    Et à partir de quel rang tout entier peut s'écrire comme somme de deux entiers "hétérogènement composés", c'est-à-dire qui admettent au moins deux facteurs premiers distincts ?
  • OlivierG0
    OlivierG0
    Re,
    <BR>
    <BR>Pour bs : soient <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img1.png&quot; ALT="$ p<q$"></SPAN> deux nombres premiers impairs successifs. Alors, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="38" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img2.png&quot; ALT="$ q-p$"></SPAN> est pair. On écrit donc : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="123" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img3.png&quot; ALT="$ q-p=2k,k\in\mathbb{N}$"></SPAN>. Donc, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="189" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img4.png&quot; ALT="$ p+q=2p+2k=2(p+k)$"></SPAN>.
    <BR>Mais <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="163" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img5.png&quot; ALT="$ p<p+k<p+2k=q$"></SPAN>. Donc, <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img6.png&quot; ALT="$ p+k$"></SPAN> est composé, puisque <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img7.png&quot; ALT="$ q$"></SPAN> est le nombre premier succesif à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img8.png&quot; ALT="$ p$"></SPAN>.
    <BR>On en déduit que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="116" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img9.png&quot; ALT="$ p+q=2(p+k)$"></SPAN> est produit d'au moins trois nombres premiers.
    <BR>Remarque : l'hypothèse <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="71" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img10.png&quot; ALT="$ p,q>117$"></SPAN> est encore inutile ici. Le raisonnement reste valable pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/6/103453/cv/img11.png&quot; ALT="$ p\geq 3$"></SPAN>.
    <BR>
    <BR>Amicalement.
    <BR>Olivier.<BR>
  • bs1
    bs1
    super Olivier !
    référence : 1001 problèmes en Théorie classique des nombres de De Koninck / Mercier (Ellipses) (Exo 152)
  • OlivierG0
    OlivierG0
    Le "1001 problèmes en théorie classique des nombres", je le connais, et il est vraiment génial...

    Pour répondre à Egorrof : dans ce cas-là, $n-4$ et $n-9$ ne fonctionnent évidemment plus (car $4$ et $9$ sont "homogènement" composés :-)), et il faut les remplacer par (respectivement) $n-6$ et $n-15$.
    Le problème, c'est qu'il faut gérer les cas où $n-6$ et $n-15$ sont des puissances de $2$, autrement dit, il faut traiter à part les entiers du type $2^{k}+6$ et $2^{l}+15$ (avec $k,l\in\N$).
    C'est juste une piste, mais je pense qu'on doit pouvoir dire des choses...
    Je vais regarder ça d'un peu plus près.

    Amicalement.
    Olivier.
  • OlivierG0
    OlivierG0
    Re,

    Je précise mon message précédent : on suppose que $n\geq 31$, et on montre que $n$ est alors somme de deux entiers hétérogénement composés.

    Cas où $n$ est pair :
    - si $n$ n'est pas de la forme $2^{k}+6$, alors $n=6+(n-6)$ est somme de deux entiers hétérogénement composés.
    - sinon, $n=2^{k}+6$ avec $k\in\N$.
    On écrit dans ce cas-là : $n=(2^{k}-4)+10$ et c'est bon.

    Cas où $n$ est impair :
    - si $n$ n'est pas de la forme $2^{l}+15$, alors $n=15+(n-15)$ et c'est gagné.
    - sinon, $n=2^{l}+15$, avec $l\in\N$. Alors, on écrit : $n=(2^{l}-6)+21$, et là encore $n$ est somme de deux entiers hétérogénement composés.

    Conclusion : pour $n\geq 31$, $n$ est somme de deux entiers hétérogénement composés. Cela dit, c'est une approche assez grossière, que l'on doit pouvoir largement affiner. Au pire, on traite les cas $n
  • bs1
    bs1
    Bonjour

    exo egoroff:
    1) si n impair : $n=(n - 15) +3.5$ ; OK pour $n \geq 21$
    2) si n pair:$n=(n-6) + 3.2$ ;OK pour $n \geq 12$
    conclusion : le rang recherché est 21.
    origine :"Trésors Arithmétiques" d'egoroff, vol.1 :-)

    Bonne journée.
  • bs1
    bs1
    Bonjour,

    ..."deux facteurs premiers distincts" et non "deux facteurs distincts".
    c'est l'approche d'Olivier qui est la bonne;

    pour le seuil: 30=3x5+3x5;29=3x5+2x7;28=11x2+2x3;27=3x5+4x3;26=4x5+3x2;
    25=3x5+2x5;24=3x4+3x4;23 pas possible.
    donc vrai pour $n \geq 24$
  • egoroff
    egoroff
    Euh trésors n'exagérons rien bs ;-)

    Comment vois-tu simplement que 23 ne marche pas ? (j'ai la flemme d'essayer toutes les possibilités). Et puisque vous avez l'air bouillants avec Olivier : à partir de quel seuil $N(k,r)$ tous les entiers peuvent-ils s'écrire comme somme de $k$ entiers ayant chacun au moins $r$ facteurs premiers distincts ?

    On fait moins les malins hein !

    Je vous donne une minoration pour commencer $N(k,r) \geq k \prod_{i=1}^r p_i$ où $(p_n)_{n \geq 1}$ est la suite des nombres premiers.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 41

BarjovrilleCidrolinDomLucasMatricule_63biguine_equationvpf +34 Invités