résolution d'une congruence

Myriam12 · December 2006

Bonsoir,j'aurai deux questions à vous poser car je travaille deçu depuis 3 heures et il se trouve que j'ai un peu de mal.
Lorsqu'on résout un système de congruence comme le suivant :
x congrue à 81 (mod 221)
x congrue à 3 (mod 1911)
Quelle méthode à adopter pour trouver toutes les solutions ?
Est-ce que le fait d'en trouver une permet de trouver toutes les autres ?
Une autre question : Comment prouver que pour tout n appartenant à IN, 11 divise 2^(6n+3)+3^(2n+1), j'ai essayé une récurrence mais je patauge un peu...
Merci d'avance pour vos aides.

gb0 · December 2006

Ton système de congruence est équivalent à l'existence de deux entiers $n$ et $p$ avec
$x = 221n + 81$ et $x = 1911p + 3$
donc $221n + 81 = 1911p + 3$, ce qui se résout classiquement, avec précaution puisque le pgce de 221 et 1911 est 13.

Pour le deuxième problème $2^{6n+3}$ et $3^{2n+1}$ sont des suites géométriques de raisons respectives $2^6 = 64$ et $3^2 = 9$. Regarde le comportement de ces suites géométriques modulo 11.

arno_nora · December 2006

tu écris qu'il existe m et n, tels que x-81=221m et x-3=1911n
tu fais la soustraction et tu as une équation entre m et n
tu résous l'équation entre m et n,
et après tu réinjectes les valeurs de m et n que tu as trouvées dans x pour vérifier que ça marche

arno_nora · December 2006

à la fin je trouve m et n de la forme m=147k-9 et n=17k-1 où k est un entier.
et après tu trouves x

Myriam12 · December 2006

Merci pour vos réponses mais comment regarder le comportement de ces suites géométriques modulo 11?

Fin de partie0 · December 2006

2^(6n+3)+3^(2n+1)=8.(64^n)+3.(9^n)

et en sachant que:
1) (a*b) mod k = [(a mod k)*(b*mod k) ] mod k
2) 64=-2 mod 11
9=-2 mod 11
8=-3 mod 11

ca devrait resoudre ton probleme

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