Bonjour,

En feuilletant quelques numéros de la revue Tangente que mes ainés m'ont pretés, on y parle de la "descente infinie".

Je n'ai pas très bien compris en quoi celà consiste, est-ce à la portée d'un lycéen ? Si oui, une âme charitable pourrait-elle m'expliquer avec des mots aussi simples que possibles, quitte à être moins rigoureux

Merci d'avance

Si je me souviens bien il s'agit d'une récurrence mais "vers le bas" .

On considère qu'une propriété est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n-1 .
Je pense que dans certains type d'énoncé celà permet par l'absurde de montrer qu'une propriété est fausse .

Madec

<latex> La descente infinie es un raisonnement par l'absurde qui consiste à construire une suite d'entiers strictement décroissante.

On démontre que, si un résultat vaut pour l'entier $p$, il vaut également pour un entier $p' < p$, soit $p' \leq p-1$.
On construit alors par récurrence, à partir de $n_0 = p$, une suite d'entiers $n_k$ avec, pour tout $k$, $n_{k+1} \leq n_k - 1$.
On en déduit $n_{p+1} \leq n_0 -(p+1) \leq -1$, ce qui procure la contradiction permettant de prouver que le résultat ne vaut pour aucun entier.

Pourriez vous donner un exemple d'application?

Merci

J'allais dire la même chose. Malheureusement, je n'ai plus d'exemple en tête.

Fermat n'avait pas demontré un cas particulier de "son" theoreme en utilisant la descente infinie ?<BR>

<latex> La méthode de la descente infinie, mise au point par Fermat, a beaucoup servi à montrer que certaines équations n'ont pas de solutions dans $\N$, par exemple $x^4 + y^4 = s^2$.

Fermat prétendait avoir ainsi démontré "son grand thhéorème".

Les calculs sont souvent faciles, mais fastidieux, aussi dirai-je, comme Fermat, que il n'y a pas assez de place ici pour les faire tenir.

Un exercice que m'avait transmis il y a une quinzaine d'année un collègue dont la conjointe était (est) prof de Maths.

soit (a,b,c) dans N tel que (a^2+b^2)/(1+ab) =c
démontrer que c=p^2 où p est un entier .

si je me souviens bien on construit à partir de u0=a u1=b une suite d'entier strictement décroissante u_n dont le rapport (u_n+1.^2+u_n^2)/1+ u_n+1u_n)=c

et au bout d'un certain rang n0 U_n0=0 donc c=u_n0+1^2
C'est typiquement de la descente infinie...

Madec

<latex> La démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ n'est pas un exemple d'utilisation d'une descente infinie ?

Menagex.

Je ne pensais plus à ce problème suggéré par Madec.

Je joins ma solution.

<latex> Pour l'exemple de gb, Legendre (1823) a montré que si
$a^4 + b^4 = c^2$ est possible, alors , il existe
$m

<latex> La méthode de descente infinie a été demandée implicitement dans l'exercice de spécialité du bac S en 2003 (nombre de points entiers sur un cône infini d'équation $y^2 + z^2 = 7x^2$ si ma mémoire est bonne).

On notera tout de même que cete méthode n'est pas explicitement au programme de la classe de TS spécialité.

Borde.

Merci à tous pour ces réponses

gb : je vais étudier votre pdf et essayer de le comprendre

Borde : je vais chercher le sujet de bac S 2003 pour voir s'il est plus abordable (pour moi)

Et d'autres explications seront toujours les bienvenues

<latex> Bonjour gb,

J'ai regardé ton pdf et il me semble que cela donne les $a, b, n \in \N*$ tels que $a^2+b^2=n(1+ab)$ or tu dis seulement que $n$ est un carré..

Amicalement,
Georges

Bonsoir ,

Pour l'irrationalité de V2 (V =racine) par une descente infinie , on peut utiliser celà :

supposons V2=p/q avec p> q entiers naturels

on construit un triangle rectangle isocèle de coté q soit ABC avec AB hypothénuse de longueur p

Sur AB on repère le point M tel que AM= p-q on projette M sur le coté BC parallèlement à la direction perpendiculaire à AB pour obtenir M'
le triangle MM'B est isocèle rectangle en M , il est donc semblable au triangle initiale ; soit h=M'B la longueur de l'hypothènuse

on donc h/(p-q) = p/q=V2 ( triangle semblable)

h= (p-q)p/q = p^2/q -p = 2q-p or 0< 2q-p < p (car q<p et V2<2)
par ailleurs p-q< 2q-p car V2< 3/2

on a donc construit un nouveau triangle rectangle isocèle de longueurs de cotés entières et strictement inférieures à celles du triangle initiale .

En un nombre fini d'itération on va donc aboutir à une contradiction, c'est bien une utilisation de la descente infinie.

Madec

<latex> georgesZ> Je me contente de prouver que $n$ est carré parfait, parce que je me suis limité à répondre à la question posée. L'exo provient, si mes souvenirs ne me trahissent pas, du concours général.

<latex> La plupart du temps on peut sans doute éviter une "descente infini" en prenant dès le départ un élément minimal (en un sens approprié et en raisonnant par l'absurde). Par exemple, pour l'irrationalité de $\sqrt{2}$, on peut partir (par l'absude) d'une fraction irréductible.

Auteurs: gb (---.w86-209.abo.wanadoo.fr)
Date: 12-07-06 00:30

La méthode de la descente infinie, mise au point par Fermat, a beaucoup servi à montrer que certaines équations n'ont pas de solutions dans N,
.......................................................................................................................Fermat n'aurait il pas découvert sa méthode de descente infinie, en démontrant l'absence de solution dans la puissance n = 4 :
du fait que si :
p² + q² = z² d'ypothénuse, et 2pq = y² existent, alors il existerait une infinité de solutions entières de plus en plus petites;
ce qui est absurde, il ne peut exister une infinité d'entiers naturel de plus en plus petits.

Borde a raison, ayant passé le bac en 2003 il y était question d'une descente infinie dans le sujet de spécialité. Bien entendu ce n'était pas clairement mentionné vu qu'on en avait jamais entendu parlé en cours (et on était pas censé en parler !).

Bref à voir. Sinon on peut aussi appliquer cette méthode pour démontrer qu'en dimension 2 ou 3, une sphère (centrée en 0) contient un point rationnel si et seulement si elle contient un point entier. La condition suffisante étant évidente, on peut se servir d'une descente infinie pour la condition nécessaire !

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