Exercice sur les nombres de Fermat

Je note $F$ pour $F_n$, et $a = 2^n$.
On a $2^{F} - 2 = 2(2^{F-1} - 1)$, et comme $F$ est impair, le problème revient à montrer que $2^{F-1} - 1$ est divisible par $F$, soit $2^{F-1} \equiv 1 \pmod F$
Or $2^a = F - 1 \equiv -1 \pmod F$ donc, pour k pair : $2^{ak} = (2^a)^k \equiv 1 \pmod F$.
Il reste à montrer l'existence de k pair tel que $ak = F - 1 = 2^a$, ce qui est immédiat, c'est $k : 2^{a-n}$.

Je m'y perds dans tous ces exposants empilés, et il y a peut-être une erreur...

gilles benson> Comment faut-il comprendre la notation $F_n | F_{n+k}$ ?

Ma première lecture a été $F_n$ divise $F_{n+k}$, c'est -à-dire qu'un nombre de Fermat divise tous ses successeurs, ce qui me laisse pantois.

La seule référence que je connaisse chez Pòlya est dans {\it Problems and Theorems in Analysis II}, Part VIII. Number Theory, Chapter 2. Polynomials with Integral Coefficients and Integral-Valued Functions, \S 2 Integral-Valued Functions and their Prime Divisors, 94, p. 130 dans l'édition de 1976, mais il est seulement question du fait que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.

La notation $n | p$ signifie-t-elle donc que $n$ et $p$ sont premiers entre eux ?

gilles benson> Merci pour la référence que je ne connaissais pas.

Je croyais qu'il fallait se tutoyer sur ce forum, me trompé-je ?

Ah, bon! le tutoiement est obligatoire?
Le vieil anarchiste que je suis a horreur des trucs obligatoires.

Bomjour,

Il s'avère ainsi que ,lorsque $F_n$ n'est pas premier, $F_n$ est un nombre de Poulet, c'est à dire que :
$2^{F_n} \equiv 2 \pmod F_{n}$: cf lien ci-dessous.
http://perso.orange.fr/yoda.guillaume/N100a500/Poulet.htm

Pour la preuve, à un moment donné, on se retrouve avec une tour présentant 5 à 6 étages de puissances, il faut alors faire très attention.

lire et donc s'il vous plait (et merci pour votre patience) oublier le précédent message:
pour $F_n | F_{n+k} - 2$, il y a une référence plus accessible: Hardy Wright An introduction to number theory page 14 et suivantes;
quant à utiliser cette relation pour prouver que $F_n | 2^{F_n} - 2$ il aurait mieux valu que j'écrive le membre de droite avant de me lancer...
Toutefois, en écrivant $x = 2^{(2^n)}$, donc:
$2^{F_n} - 2 = 2(2^{F_n - 1} - 1) = 2(2^x - 1)$;

en répétant l'identité:
$2^a - 1 = (2^{\frac{a}{2}} +1 )(2^{\frac{a}{2}} - 1)$
on obtient:

$2^{F_n} - 2 = 2\prod_{d=1}^{2^n - 1} (2^{\frac{x}{2^d}} + 1)

= 2\prod_{d=1}^{2^n - 1} (2^{(2^{2^n - d} )} + 1)$
En choisissant $d = (2^n) - n$, on voit apparaître le facteur $F_n$ dans le produit.

Ainsi,
$2^{F_3} - 2 = 2^257 - 2
= 2(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(....)(2^{128} + 1)$

C'est ce que je disais dans mon premier message. Il suffit d'utiliser a²-b²=(a+b)(a-b).

Dans un autre sujet, on a eu droit à la dérivée de Gateaux, ici on a droit aux nombres de Poulet. On voit que le réveillon est proche.