Petit défi arithmétique
dans Arithmétique
Soient $800$ entiers tels que leur somme soit nulle .
Montrer que la somme de leurs puissances d'ordre $37$, est divisible par $399$.
Un peu de fantaisie ..
Montrer que la somme de leurs puissances d'ordre $37$, est divisible par $399$.
Un peu de fantaisie ..
Réponses
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$k^{37}$
-
M'enfin
pour tout $n$ : $n^2 \equival 1 \pmod 3$, $n^6 \equival 1 \pmod 7$ et $n^{18} \pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.
Comme $37 \equival 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equival n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19
La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$. -
Correction du LaTeX
M'enfin
pour tout $n$ : $n^2 \equiv 1 \pmod 3$, $n^6 \equiv 1 \pmod 7$ et $n^{18} \equiv 1\pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.
Comme $37 \equival 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equival n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19
La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$. -
pour tout $n$ : $n^2 \equiv 1 \pmod 3$, $n^6 \equiv 1 \pmod 7$ et $n^{18} \equiv 1\pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.\\
Comme $37 \equiv 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equiv n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19
La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$.
(je refais une correction latex pour que tout le monde puisse profiter de la réponse -- que je trouve au passage très bien trouvée) -
$ n^{18} \equiv 1\pmod {19}$ -
pour tout $n$ : $n^2 \equiv 1 \pmod 3$, $n^6 \equiv 1 \pmod 7$ et $n^{18} \equiv 1\pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.
Comme $37 \equiv 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equiv n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19
La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$
(Alain vous vous êtes trompé de correction) -
Je me permets de rajouter que cela fonctionne également lorsque n est congru à 0 modulo 3 ou 7 ou 9...
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Bonjour!
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