Petit défi arithmétique

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M'enfin
pour tout $n$ : $n^2 \equival 1 \pmod 3$, $n^6 \equival 1 \pmod 7$ et $n^{18} \pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.
Comme $37 \equival 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equival n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19

La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$.

pour tout $n$ : $n^2 \equiv 1 \pmod 3$, $n^6 \equiv 1 \pmod 7$ et $n^{18} \equiv 1\pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.\\
Comme $37 \equiv 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equiv n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19

La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$.

(je refais une correction latex pour que tout le monde puisse profiter de la réponse -- que je trouve au passage très bien trouvée)

pour tout $n$ : $n^2 \equiv 1 \pmod 3$, $n^6 \equiv 1 \pmod 7$ et $n^{18} \equiv 1\pmod 19$ car 3, 7 et 19 sont premiers.
Comme $37 \equiv 1$ aussi bien modulo 2, 6, que 18, on a $n^{37} \equiv n$ pour ces trois modulo 3, 7, et 19

La somme de 800 (ou 2006) puissances $37^e$ est congru à la somme des entiers, donc à 0 modulo 3, 7 et 19, et est divisible par $3 \times 7 \times 19 = 399$

(Alain vous vous êtes trompé de correction)