factorielle

galax1 · December 2006

Bonjour,

Dans mes notes personnelles j'ai trouvé deux exercices :

1°Trouver le plus petit naturel possible n pour que 10^(10^10) | n!

2°Trouver le plus petit naturel possible n pour que (10^10)^10 | n!

Bon amusement!

Sincèrement,

Galax

bisam · December 2006

On sait calculer le nombre de zéros à la fin de n! : c'est E(n/5)+E(n/25)+E(n/125)+etc...
Il suffit de trouver par approximations successives quel est le plus petit n qui donne 10^10 zéros dans le premier cas ou bien 100 dans le second.

galax1 · December 2006

Bonjour Bisam,

Oui ton idée est bonne ... le travail devient plus astucieux quad tu voudras déterminer effectivement le plus petit naturel possible n .

Sincèrement,

Galax

Sylvain · December 2006

Le nombre de Bisam est inférieur, si je ne m'abuse, à n/4 (somme d'une progression géométrique). Il faudrait donc multiplier le nombre de zéros souhaités par 4.
Par ailleurs, comme n doit être naturel, il faut sans doute étudier la valuation de 5 dans n.

anonyme8 · December 2006

Bonjour, je crois avoir trouve:
Entre $a10+1$ et $(a+1)10$, il y a 1 multiple de 10, 1 multiple de 5 non multiple de 10, et 4 multiples de 2 non multiples de 10;

Donc lorqu'on multiplie par chacun des 9 nombres dans cet intervalle, on multiplie par c100 avec c non multiple de 5.

Donc $(d10)!= e*(10^2)^d$, avec e non multiple de 10.

Donc pour le 2) n=500;

Pour le 1), ma methode s'adapte, mais ca n'a pas l'air commode, attends un peu..

Sylvain · December 2006

Soit $m$ le nombre tel que $n$ est le plus petit naturel tel que $10^m$ divise $n!$. Je propose la formule suivante:
$$n=5(1+E(m\times 4/5))$$.

Sylvain

galax1 · December 2006

Bonjour Sylvain,

L'idée de Bisam montre que:

Valuation de 5 dans n! , $V_5(n)$ est

E(n/5)+E(n/25)+E(n/125)+... < n/5+ n/25 + n/125 + ...

d'où

E(n/5)+E(n/25)+E(n/125)+... < n/4

donc

$10^10 < n/4$ ou encore $4*10^10 < n$ .... à suivre

Sincèrement,

Galax

galax1 · December 2006

Bonjour AD,

Pourrais-tu remplacer la dernière ligne de mon message du 12-11-06 20:34

par

$ 10^(10) < n/4$ ou encore $ 4*10^(10) < n$ .... à suivre

Merci,

Galax

anonyme8 · December 2006

Galax, as-tu vu mon message ?
Si oui, est-ce que ce que j'ai écrit est bon ?

Alain Debreil · December 2006

$ 10^{10} < \frac{n}{4}$ ou encore $ 4\times 10^{10} < n$ ... à suivre

galax1 · December 2006

Bonjour Sylvain,

La réponse à la question 1° est
n = 40 000 000 015 je te laisse completer la démonstration !

Sincèrement,
Galax

gb0 · December 2006

anonyme > ta méthode ne convient pas, car tu ne tiens pas compte des multiples de 25, de 125, de 625,...
Regarde se qui se passe entre 71 et 80, ou entre 371 et 380 au niveau du nombre de facteurs 5.

Le nombre de 0 par lequel se termine n! est effectivement donné par la formule de Bisam.

galax1 · December 2006

Bonjour Gs et anonyme,

Merci gs pour ta remarque judicieuse.

Anonyme, gs a tout dit...

Sincèrement,

Galax

g.boutte@wanadoo.fr · December 2006

Pour $n < 25$, le nombre $N = 10^{10}$ de zéros à la fin de n! est
E(n/5) + E(n/25) + ... = E(n/5) < 5, ce qui ne convient pas.
Donc $n \geq 25$ et on peut minorer $N$ par E(n/5) + 1, donc par n/5.
Il en résulte $n \leq 5N = 5.2^{10}.5^{10}$.
Comme $2^{10} = 1024 \leq 1250 = 2.5^4$, il en résulte $n \leq 2.5^{15} < 5^{16}$
La somme donnant le nombre $N$ est donc limitée à ses 15 premiers termes.
En encadrant les E(x) entre x et (x-1), il vient
$\dfrac{n}{4}.\dfrac{5^{15}-1}{5^{15}} - 15 \leq N \leq \dfrac{n}{4}.\dfrac{5^{15}-1}{5^{15}}$
ce qui me conduit à encadrer de $n$ entre
39 999 999 999 et 40 000 000 058
Ce n'est pas le Pérou, mais on peut finir à la main (avec bcp de courage)

gb0 · December 2006

Dans le deuxième cas, $N = 100$, et l'on montre de même :
$n \geq 25$ puis $n \leq 5N = 500$.
La somme donnant le nombre $N$ est donc limitée à ses 3 premiers termes, et
$\dfrac{n}{4}.\dfrac{5^{3}-1}{5^{3}} - 3 \leq N \leq \dfrac{n}{4}.\dfrac{5^{3}-1}{5^{3}}$
ce qui me conduit à encadrer $n$ entre 397 et 408.
Les essais successifs me conduisent à $n = 405$

galax1 · December 2006

Bonjour,

dans mon méssage à Sylvain du 12-11-06 20:52
j'ai indiqué que n = 40 000 000 015 est la solution au problème 1°.

Voici mon raisonement:

Je constate que $ V_5(4*10^{10})= 999 999 997$

En possant $m=4*10^{10}$, la solution n doit être de la forme
$m! *(m+1) *(m+2) *...*(m+k) $ avec k naturel.

Comme dans $(m+1) *(m+2) *...*(m+k)$ les trois "premiers termes" divisibles par 5 sont m+5, m+10, m+15 , et je note que 25 ne divise auqun de trois nombres m+5, m+10, m+15 .

Donc n = 40 000 000 015 est la solution au problème 1°.

*******************
Merci à tous qui se sont intéressés à ces problèmes et en particulier à Bisam, Sylvain, anonyme, gb ...

P.S. Je ne manquerai pas posser un autre problème sur les grands nombres quand je remettrai un peu d'ordre dans mes notes personnelles ...

Sincèrement,

Galax

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