Polynôme à valeurs carrées

Via l'Interpolation de Lagrange :
On note n=degre(P), alors en notant la base d'interpolation sur 0 ... n, il vient : f(X) = \sum f(k) L_k or f(k) = u_k ^2 . On pose g(X) = \sum u_k L_k. Alors f(k) = g(k)^2 pour k entre 0 et n, g est totalement déterminé par ces valeurs vu son degré. On a donc f(X) = g(X)^2 .
Sauf erreur de ma part.

L'esprit de Ker Lann flotte sur ce sujet

On peut déjà montrer que son terme dominant est $\alpha^2 X^{2n}$ : si on écrit $f = \lambda_d X^d (1 + \frac{\lambda_{d-1}}{X}+ \hdots)$, alors pour $n$ suffisamment grand $\lambda_d n^d = u_n^2$, i.e. $u_n = \sqrt{\lambda_d} n^{\frac{d}{2}} \in \Z$. Si $d = 2d' + 1$, $\frac{u_n}{n^{d'}} = \sqrt{\lambda_d n} \in \Q$ pour tout $n$, ce qui est absurde car les racines des entiers non carrés sont irrationelles. Donc $d$ est pair, et $n^d \,\mid\, u_n^2 \Rightarrow n^{\frac{d}{2}} \,\mid\, u_n \Rightarrow \sqrt{\lambda_d} \in \Z$.

une fois qu'on a montré que le premier terme est un carré parfait, et que le degré est pair, on n'est plus très loin.
$P(x)=a^2X^{2d} + \ldots $
On peut trouver (exo) des polynômes à coefficients entiers tels que:
1/ $deg(R) \leq deg(Q) - 1$
2/ $P(X)=Q(X)^2 + R(X)$

Il existe alors $X_0$ assez grand tel que pour $x>X_0$, $|R(x)| < |Q(x)|$ et disons $|Q(x)|>1000$. Alors pour tout entier $n>X_0$, si $R(n) \neq 0$, alors $R_n$ est plus grand que la distance entre $Q(n)^2$ et le carré parfait le plus proche. Or cela est impossible car le carré le plus proche est à une distance plus que grande $2Q(n)-1$ (environ), et la condition $|R(x)| < |Q(x)|$ rend cela impossible. Ainsi, $R(n)=0$ pour tout $n>X_0$ : $R=0$

Pourquoi ce que j'ai dit ne marche pas ? On fait l'interpolation de Lagrange dans R[X], et les L_k sont bien à coefficients rationnels (on a la formule explicite) lorsqu'on interpole aux points 0, ... n. g est donc dans Q[X], g^2 dans Z[X], on regarde alors le ppcm des dénominateurs de g ...

Questions subsidiaires :

a) même chose avec $ P(X_1,..., X_n) $ prenant des valeurs carrées sur les n-uplets d'entiers .

b) idem avec des puissances k-ièmes au lieu de carrés.

lolo