pgcd
dans Arithmétique
Bonjour, une question :
Soit a, b € Z et n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a-t-on l'implication suivante :
Soit a, b € Z et n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a-t-on l'implication suivante :
pgcd(a,n)=1 et pgcd(b,n)=1 implique pgcd(ab,n)=1.
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Réponses
En effet soit $p$ un nombre premier divisant $ab$ et $n$. Alors $p$ divise $a$ ou $b$. Donc
soit $p$ divise $a$ et $n$, impossible
soit $p$ divise $b$ et $n$, impossible
Il existe $u,v,u',v' \in \Z$ tels que l'on ait :
$ua+vn = 1$ et
$u'b+v'n = 1$.
Multipliant ces deux égalités, on obtient :
$(uu') ab + (uv'a+u'vb+vv'n) n = 1$, et donc $ab$ et $n$ sont premiers entre eux.
Cordialement,
Ritchie
pgcd(a1,n)=pgcd(a2,n)=...=pgcd(an,n)=1 implique pgcd(a1*a2*...*an,n)=1?
[J'ai corrigé l'orthographe dans le message initial. AD]