pgcd

tanya0 · December 2006

Bonjour, une question :
Soit a, b € Z et n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a-t-on l'implication suivante :

pgcd(a,n)=1 et pgcd(b,n)=1 implique pgcd(ab,n)=1.

Archimède · December 2006

Oui
En effet soit $p$ un nombre premier divisant $ab$ et $n$. Alors $p$ divise $a$ ou $b$. Donc
soit $p$ divise $a$ et $n$, impossible
soit $p$ divise $b$ et $n$, impossible

tanya0 · December 2006

C'est ce que je pensais aussi,merci Archimède.

Ritchie · December 2006

On peut aussi écrire une relation de Bezout :

Il existe $u,v,u',v' \in \Z$ tels que l'on ait :
$ua+vn = 1$ et
$u'b+v'n = 1$.

Multipliant ces deux égalités, on obtient :

$(uu') ab + (uv'a+u'vb+vv'n) n = 1$, et donc $ab$ et $n$ sont premiers entre eux.

Cordialement,

Ritchie

tanya0 · December 2006

Bonne remarque,Ritchie.Une question aussi,peut on généraliser et dire que si on a a1,a2,...,an dans Z et n un naturel supérieure ou égale à 2 alors
pgcd(a1,n)=pgcd(a2,n)=...=pgcd(an,n)=1 implique pgcd(a1*a2*...*an,n)=1?

arno_nora · December 2006

et bien réfléchis avec les deux méthodes qu'on vient de te proposer, tu trouveras la réponse tout seul

Léon1 · December 2006

Je pense que oui car si on prend déjà a=a1*a2 et b on a pgcd(a,n)=1 selon le résultat prouvé ci dessus et pgcd(b,n)=1 implique pgcd(ab,n)=1=pgcd(a1*a2*b,n)=1 et raisonnant par récurrence on voit qu'on peut arriver à ce résultat,je me trompe pas?

egoroff · December 2006

"un naturel supérieure ou égale" : Si c'est UN naturel il faut accorder les adjectifs au masculin.

[J'ai corrigé l'orthographe dans le message initial. AD]

pgcd

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