chaîne arithmétique

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Re: chaîne arithmétique
Auteurs: gilles benson (---.w80-11.abo.wanadoo.fr)
Date: 01-06-07 21:12

Rebonsoir, comme je suis sorti en promenade avec mon labrador, je pense avoir quelques idées :
on a:
$\displaystyle a^n - b^n = (a - b)(\sum_{i=0}^{n-1} a^{n-i-1}b^{i})$
avec $ n$ impair et $ b= -1$, on obtient :
$\displaystyle a^n +1= (a +1)(\sum_{i=0}^{n-1} a^{n-i-1} (-1)^{i})$
Avec $ p$ et $ q$ impairs, on obtient en écrivant $ a=x^p$ et $ b= {(-1)}^p$ :
$\displaystyle {(x^p)}^q +1= ( x^p + 1)( \sum_{i=0}^{q-1} {(x^p)}^{q - i - 1}{(-1)}^{i} )$
En prenant $ x=2$, on obtient :
$\displaystyle {(2^p)}^q +1= ( 2^p + 1)( \sum_{i=0}^{q-1} {(2^p)}^{q - i - 1}{(-1)}^{i} )$
donc $ 2^p +1$ divise $ 2^{pq} +1$ si $ p$ et $ q$ sont impairs.
On peut noter aussi avec $ a=2$ :
$\displaystyle 2^n +1= 3(\sum_{i=0}^{n-1} 2^{n-i-1}{(-1)}^{i})$
donc si $ n$ est impair, 3 divise $ 2^n +1$

Bilan partiel : $ 2^{pq} +1$ admet au moins trois diviseurs distincts et il me reste à comparer les tailles respectives de ces différents nombres pour en trouver un quatrième

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Re: chaîne arithmétique
Auteurs: galax (---.adsl.proxad.net)
Date: 01-06-07 21:43

Bonjour Gilles,

Tout d'abord la divisibilité par 3 de $ 2^a + 1 $ pour un a impair peut être montré plus rapidement :
$ 2^a = (-1)^a =-1 \pmod 3$
donc on a bien que $ 2^a + 1 =0 \pmod 3$.

Ainsi pour tout premier $p>3, 2^p + 1 $ a au mois 4 diviseurs.
A savoir $1, 3, \frac {2^p + 1}{3}, 2^p + 1 $.

Remarque : pour $p=3,\ 2^p + 1 = 9 $ on n'a que trois diviseurs : $1, 3 , 9$
Comme me l'a fait remarquer Borde dans son message du 12-29-06 12:17, et où il m'a rappelé également la terminologie en usage en France.

Bonne continuation.
Galax

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Re: chaîne arithmétique
Auteurs: gilles benson (---.w193-253.abo.wanadoo.fr)
Date: 01-07-07 00:25

Bonsoir Galax, effectivement employer les congruences est sûrement une bonne idée en arithmétique... ceci dit, je n'y peux rien, l'identité géométrique sous toutes ses formes me fascine.
Quand j'ai écrit:
si $ n$ est impair, $3 \mid 2^n +1$
Cela donnait évidemment 3 diviseurs pour $ 2^3 + 1$ mais 4 au moins pour tout entier impair supérieur à 3 puisque l'on a deux diviseurs propres...

Entre temps, j'ai vérifié que:
$\displaystyle 2^{ab}+1 > (2^a+1)(2^b+1)$
si $ a$ et $ b$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à 5, ce qui entraine le fait que $ 2^{pq} +1$ admet au moins 4 diviseurs propres, soit $ \displaystyle d(2^{pq} +1) \geq 2^4 = 4^2$ en notant $ d(n)$ le nombre de diviseurs de l'entier $ n$ (toujours avec $ p$ et $ q$ des nombres premiers distincts supérieurs ou égaux à 5).

Bon, il fera quand même jour demain mais je suis loin du compte.

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Re: chaîne arithmétique
Auteurs: galax (---.adsl.proxad.net)
Date: 01-07-07 01:15

Bonsoir Gilles,

Pour la suite de la démonstration on pourra utiliser une récurrence.

Sincèrement,
Galax

Bonjour Gilles,

A propos du problème 14

J'ai recopié les derniers postes d'hier (avec peu de succès) pour pouvoir te répondre.

Pour poursuivre les raisonnements de ton poste du 01-07-07 00:25, tu peux utiliser les 2 lemmes suivants:
lemme 3:
Si $ 3 \nmid n$, alors $ 9 \nmid 2^n +1$ ( pour en n impair )
lemme 4:
Si pgcd(m,n) = 1, avec m en n impaires, alors pgdc($2^m +1$,$2^n +1$) =3.

N.B. Je considère que les deux raisonnements précédant, déjà démontrés, peuvent être considérés comme lelemme 1 et le lemme 2.

lemme 1:
$ 3 | 2^n + 1 $ pour un n impair
lemme 2: Si pgdc(m,n)
Pour tout premier p>3, $ 2^p + 1$ a au mois 4 diviseurs.

Sincèrement,

Galax

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bonjour AD,

j'ai quelques problèmes avec les messages en latex.
Merci d'avance pour ton aide.

Sincèrement,

Galax

gilles,

tes idées sont très valables, j'ai mis ces 4 lemmes pour mettre au clair le travail que tu a déjà ( presque) fait.

Sincèrement,

Galax