un nombre extraordinaire
dans Arithmétique
Bonjour,
Le nombre 2^{29} est un nombre de 9 chiffres en base 10, tous différents. Lequel manque et pourquoi ???
Un coup de pousse-pousse...
Merci
Le nombre 2^{29} est un nombre de 9 chiffres en base 10, tous différents. Lequel manque et pourquoi ???
Un coup de pousse-pousse...
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Réponses
Le nombre 7 possède des propriétés extraordinaires. Si on le multiplie par 279648, puis si l’on divise le résultat par 4954022, puis si, après avoir retranché 777 et ajouté 7 fois 70, on multiplie le résultat par 127/3, il suffit alors d’extraire la racine cubique et l’on obtient un nombre tellement beau qu’on ne se lasse pas de le regarder.
-- Cavanna, François ; Le saviez-vous ?
-- Schnoebelen, Philippe
En effet, supposons que l'ensemble E des nombres entiers ordinaires soit non vide. Alors il possederait un plus petit élément $n_0$. Or $n_0$ serait le plus
petit entier ordinaire, ce qui serait extraordinaire, et donc on aurait $n_0\notin E$. Contradiction.
Note : un calcul simple passant par les logs permet de montrer que le nombre possède bien 9 chiffres. En supposant ne pas avoir le droit de calculer directement $2^{29}$, pour constater directement le résultat, je ne dispose cependant d'aucune piste pour montrer que ces 9 chiffres sont tous différents...
Si on part du principe que tous les nombres entre 1 et 9 sauf un figurent dans l'\'ecriture d\'ecimale, ce qui ne me "saute" pas aux yeux en ce qui me concerne, alors montrer que seul 4 manque a l'appel se voit rapidement: en effet modulo 9 le nombre $2^{29}$ est congrus a la somme de ses chiffres, qui est $45 - x $ o\`u $x$ est le manquant. Mais seul $41$ est de la classe de $2^{29} = - 4 \left[ 9 \right]$ dans l'intervalle $\{ 45 - 9 , ..., 45 \}$. Donc $x = 4$.