nombres premiers

anonym1 · January 2007

Bonjour à tous,
Tout d'abord, je souhaite dire que le nouveau forum est très classe.
Et puis joyeuses fetes à tous:)-D

En posant $p_0=1$ et si $p_n$ désigne le $n$-ième nombre premier, on considère $$ \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{p_i}= 0,72...
$$ Que sait-on sur ce nombre ?
Moi personellement, en calculant la somme jusqu'au nombre premier $71$, en notant $x$ le nombre ainsi obtenu, j'observe que $\frac{1}{2}(\cos(x)+\sin(x))=x$ ...

Merci de me donner vos impressions...
PS : Comment écrit-on environ égal, en latex ?

[en LaTeX tu as $\sim$ \verb*/ \sim/ , $\simeq$ \verb*/ \simeq/ , $\cong$ \verb*/ \cong/ . AD]

ryo · January 2007

Je crois qu'il y avait déjà eu une conversation là-dessus (pour la retrouver bon courage :S )
Mais il me semble que les participants avaient conclu que cette constante n'avait pas de nom et qu'on ne savait pas grand chose sur elle.

Quand à ton expérimentation numérique, à mon avis, elle t'induit en erreur plus qu'autre chose : calcule la somme des $\dfrac{1}{p},\ p$ premier jusqu'à $p=71$, et bien tu es super fort si tu arrives à voir qu'au final, la série diverge.

Par contre, en général, on commence ce type de série à $p_1=2$ puisque $1$ n'est pas premier (bon c'est plus ou moins une convention donc on s'en fout un peu c'est vrai)

borde · January 2007

Non, à ma connaissance, il n'y a pas de nom pour ce nombre.

En revanche, la série $\displaystyle {\sum_{p \geqslant 3} \frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}$ est bien plus connue (rappelons qu'un indice $p$ signifie que la somme ne porte que sur les nombres premiers)...

Borde.

anonyme1 · January 2007

Ok, merci beaucoup pour vos réponses...

Effectivement, en poussant un peu plus loin l'expérimentation numérique, je constate que l'égalité que je propose est fausse...

Bon, eh bien si ce nombre là n'a pas de propriétés, ce n'est pas si grave...
Mais quelles propriétés à la série que tu cites, Borde ?
Je suppose qu'elle a pour but de "comparer" les nombres premiers de la forme 4n+1 et 4n+3... D'ailleurs, est-ce que la densité des nombres premiers de la forme 4n+1 est supérieure à celle des 4n+3 ? Ou sont-elles égales ?

Au revoir

borde · January 2007

Effectivement, la série indiquée n'est autre que $\displaystyle {\sum_{p} \frac {\chi_4(p)}{p}}$, où $\chi_4$ est l'unique caractère non principal de Dirichlet modulo $4$, et dont la convergence assure l'existence de l'infinité de nombres premiers $p$ de la forme $p \equiv 1 \pmod 4$.

C'est l'idée de Dirichlet que d'étudier ces séries $\displaystyle {\sum_{p} \frac {\chi(p)}{p}}$, où $\chi$ est un caractère de Dirichlet modulo $q$, d'en démontrer la convergence si $\chi \not = \chi_0$, et d'en déduire son théorème.

Borde.

borde · January 2007

Ah, je n'avais pas vu la fin de ton message, Anonyme (sorry !)...

Pour y répondre, quelques notations (classiques) : si $\mbox {pgcd}(a,q) = 1$, on note $\pi(x;q,a)$ le nombre de nombres premiers $p \leqslant x$ tels que $p \equiv a \pmod q$.

En 1853, Tchebichef avait remarqué que, pour de petites valeurs de $x$, $\pi(x;4,1) < \pi(x;4,3)$. Mais ce n'est plus vrai pour tout réel $x \geqslant 2$. Par exemple, en 1957, Leech a montré que $x=26861$ est la plus petite valeur pour laquelle $\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)$.

Plus généralement, on montre que les inéqalités changent de sens une infinité de fois.

Borde.

SXB · January 2007

Merci beaucoup pour ce résultat, il écarte des voies de recherches et m'évite de perdre du temps dans une partie de mes trucs que j'ai trouvé sur les nombres premiers. Je vais m'intéresser à ce truc quand j'en aurai le temps. Sinon, j'ai aussi créé une rubrique sur les nombres premiers dans ce forum. Il y a un point qui pourrait être utile: multiplier chacune des sommes partielles par le produit des premiers nombres premiers correspondant (ce qui revient à tout mettre, dans la somme partielle, en dénominateur commun puis à multipier la somme partielle par ce dernier) donne un nombre qui a une probabilité non ridicule d'être premier, et qui en tout cas n'a que des grands facteurs premiers. Par contre, il ne vérifie plus les hypothèses de mon premier théorème à partir d'un certain rang, puisque les sommes partielles tendent vers 0.72...

Rien ne garantit donc qu'une infinité de sommes partielles chacune multipliée par son p1*...*pn respectif, ne donne un nombre premier.

Je souhaiterais ajouter qu'il serait intéressant de se demander si la suite ainsi obtenue admet une suite extraite de nombres premiers, car ssi on le démontrait, la suite en question serait extraite d'une suite équivalente à 0.72*p1...pn, résultat super dans la recherche des grands nombres premiers.

cordialement

SXB · January 2007

Bonjour. Hier j'ai laissé passer un petit détail. Il est impossible que le nombre cité ci-dessus soit environ 0.72:

En effet la série des (-1)ⁱ/p_i est une série alternée vérifiant le critère spécial, donc, en particulier:

La somme de cette série est du signe du premier terme et de module inférieur à celui-ci. Or ici, le premier terme est 1/2, donc le nombre obtenu est positif mais inférieur à 0.5, et donc ne peut valoir 0.72 de manière approchée par défaut.

SXB · January 2007

Il est plus proche de 0.3

Sylvain · January 2007

Si tu commences à $p_0=1$, le nombre $0,72...$ vérifie le critère que tu énonces...

[Ne pas oublier la case $\LaTeX$

AD]

SXB · January 2007

Ah, oui, mince, j'avais mal regardé, pardon. J'ai tellement l'habitude de prendre p₀=2::o

Mais cela sert à quoi de mettre Latex, svp? Surtout que je ne crois pas que mon langage contient du latex...

D'illeurs j'apprendrais bien à m'en servir, je suppose que c'est celui-là qui permet toutes les notations mathématiques un peu spéciales, non?