pb sur les nombres premiers? Clarifié à la fin

SXB · January 2007

Titre initial ; Quelqu'un résoudra-t-il ce pb sur les nombres premiers? Clarifié à la fin

[Pour une bonne lisibilité de la 1ère page du forum, évite les titres trop longs. AD]

Bonjour. Je voudrais vous parler d'un truc que j'ai trouvé en sup, en espérant que ça vous motivera. Basique mais je ne l'avais jamais vu et ne l'ai toujours pas vu ailleurs. J'ai par la suite trouvé pas mal de trucs plus durs dessus. Là les maths j'en fais plus trop sérieusement car je suis en école d'ingé, mais je reprendrai plus tard, ou alors maintenant si qqn est motivé par l'idée suivante (désolé je sais pas utiliser Latex):

Soit (u_n) _{n appartenant à N} la suite des nombres premiers rangés dans l'ordre croissant.

Alors:

Pour tout entier naturel n non nul, pour tout p entier entre 0 et n-1, pour toute permutation s de l'ensemble {0,1,...n}, pour tout n+1-uplet d'entiers naturels non nuls (a₀,...,a_n), soient:

A =u_o^aox...xu_p^ap+u_p+1^ap+1x...xu_n^an
B le module de u_o^aox...xu_p^ap-u_p+1^ap+1x...xu_n^an
etc etc.

Ben déjà on a la propriété suivante:

Que ce soit A ou B, ou d'autres nombres dans ce style que je vous laisse imaginer un peu, si le nombre en question est compris strictement entre 1 et (u_n+1)², alors il est premier et supérieur à u_n+1

Je vous laisse le vérifier et souhaite vous voir créatifs à ce sujet.
Merci d'avance de votre participation.

SARKIS Bruno

PS: quelqu'un a réussi à l'énoncer de manière plus claire à la fin, avis donc à ceux qui sont exaspérés par ma prose si confuse.

Pluto · January 2007

Je ne comprends pas bien ton énoncé. Où intervient la permuation $s$ ? Que signifie "etc etc"?

GERARD · January 2007

Bonjour.

Si je comprends bien tu construis des nombres non divisibles par les n+1 premiers entiers premiers, puis tu dis que s'ils sont entre le dernier et son carré, ils sont premier.
Ce n'est pas un résultat "classique", mais la méthode du crible justifie immédiatement que ce sont des premiers.

As-tu trouvé une application utile ?

Cordialement

SXB · January 2007

Géard, tu as bien compris la démonstration et le principe. Quand je disais de base, je disais que ce n'était pas compliqué à comprendre, pourtant je me demande si qqn y avait déjà pensé, car je ne l'avais vu nulle part.

Pour le reste je vais répondre à Pluto en françisant mon théorème, à ne surtout pas prendre comme une offense, juste comme une clarification:

En gros, je prend les n+1 premiers nombres premiers mis ensuite chacun à une puissance entière naturelle non nulle quelconque, et crée à partir de cette ensemble une partition de celui-ci en deux sous ensembles (définie par la permutation qui les mélange et le p qui coupe en deux ensuite), puis, comme on sommerait pour une intégrale, je multiplie tous les éléments de chacun des sous-ensembles entre eux et obtiens deux produits que j'ajoute ou je soustrais...

SXB · January 2007

La valeur absolue du nombre obtenu, si elle est comprise entre 1 et (u_n+1)² (strictement) est alors un nombre premier entre 1 et u_n+1.

Les etc etc veulent dire qu'il y a plein de nombres encore construits dans ce style qui peuvent être premiers.

Par exemple: 1<2+3<25, 1<2²+3<25, 1<2*3*5*5-7*7<121, etc, mais aussi

1<2*3+3*5+5*2<49, 1<2*3+3*5-5*7+2*3*5<169, etc.

On vérifie aisément (sauf erreur de frappe) que tous les nombres entre les deux doubles inégalités sont premiers et supérieurs à la racine du nombre de droite de chacune de ces doubles inégalités.

Sinon, pour ce qui est des "applications", j'ai prouvé (mais la démo de ce qui suit c'est mon secret et je le garde, d'ailleurs ça vous motivera à en trouver une autre démo, j'en ai déjà 2) qu'avec au moins l'une de telles constructions on peut dans Z (pas forcément entre 1 et u_n+1) trouver un multiple de u_n+1, je l'ai ensuite étendu en remplaçant ce dernier par son carré (un théorème connu donne une réponse à ce point mais par un cas particulier), puis son cube, et je pense que c'est encore extensible mais la limite du raisonnement pour les puissances pour lesquelles cela vaut est encore floue.

Pour ce qui est de son carré la réponse est donnée par le théorème de ... (je n'arrive pas à retrouver ne nom) qui dit que

(p-1)!(1+1/2+...+1/(p-1)) est multiple de p², mais c'est un cas très particulier de mon résultat.

En fait il existe un ensemble de reconstructions E parmi lequel on peut en trouver au moins une qui "marche". On peut alors, comme le comprendra bien Gérard, redéfinir u_n+1 comme étant le plus petit élément de la réunion des ensembles des diviseurs de chacun des éléments de E.

Remarque: je n'ai jamais dit que E était unique.

on a alors: u_n+1= min {d, d diviseur de A, A appartenant à E}.

On ne peut pas vraiment appeller cela une application pratique, et savoir calculer une reconstruction A appartenant à E qui "marche" n'est pas encore en mon pouvoir, et parmi les mille et une manières citées qui apparaissent potentiellement comme pouvoir recréer un multiple de u_n+1, mon rêve serait d'en voir une multiple jutement de u_n+1qui tombe strictement entre 1 et u_n+1, ce qui d'après mon premier théorème signifierait qu'elle est EGALE à u_n+1, et il "suffirait" ensuite de savoir la calculer pour avoir la suite par récurrence. Ce nouveau monde ouvre, je pense, bien des voies de recherche, que je ne maîtrise en rien à mon niveau.

Voilà, j'espère vous avoir bien répondu et vous avoir motivé. Salutations distinguées.

alpha0 · January 2007

{\it Ce nouveau monde ouvre, je pense, bien des voies de recherche, que je ne maîtrise en rien à mon niveau.}

Comment pouvez-vous savoir que cela ouvre bien des voies de recherche puisque vous dites vous-même ne rien maîtriser ?

SXB · January 2007

Euuh, je n'en sais rien, enfin, si, je dis que les nombreuses possibilités que je vois ouvrent des voies de recherche. Ce que je ne maitrise pas, c'est si ces recherches vont mener à quelque chose d'utile ou pas, alors que qqn de plus haut niveau pourrait faire effondrer mes espoirs par une démonstration, par exemple, de minoration de ces quantités pour m'assurer qu'elles ne tombent pas strictement entre 1 et (u_n+1)².

Cordialement, en espérant m'être mieux exprimé.

SXB · January 2007

Bon, pour relancer le débat, je poserais cette question: est-il possible, pour tout entier naturel non nul n, de trouver, déjà, une permutation s de l'intervalle d'entiers {0,..n}, un nombre entier naturel p entre 0 et n-1, un nombre u égal à -1 ou 1 et un n+1-uplet (a₀,...,a_n) tel que:

1 < u_s(0)^a₀x...xu_s(p)^a_p +uxu_s(p+1)^a_p+1x..xu_s(n)^a_n < (u_n+1)² ?????

SXB · February 2007

Bon, ce n'est pas pour insister, mais je voudrais savoir juste si cela n'intéresse personne ou si personne n'y arrive, car dans le premier cas je ferme la discussion, à quoi bon laisser un fil trainer pour rien?

PS: modérateurs svp j'aimerais juste connaître l'avis des autres, et surtout connaître la réponse à cette question que je leur pose et que je me pose également, n'arrivant pas à la résoudre.

SXB · February 2007

Bon, je constate que même si à l'nverse d'Algibiri j'ai présenté quelque chose de concret ses détracteurs refusent de s'attaquer à ce problème.

Désolé, modérateurs, mais c'est bien les maths dont je parle ici!!!!
Désolé si je sors un peu du cadre, mais c'est anormal, on refuse de prêter attention à un problème de maths!!!

Prière de s'attaquer à ma question, elle n'est pas triviale, ou alors prouvez le!!!

Alpha, Gérard (enfin, plus ou moins il est intervenu avant ma question et puis il a au moins compris la démo du premier point) et Pluto avec tout le respect que je vous dois, prière de faire des maths avant de poser des questions métaphysiques, et surtout de vous y intéresser un peu, quoi, c'est nouveau donc on sait pas ce que cela peut apporter!!!!!!

Ce n'est pas une attaque personnelle, juste un exemple, je vous dis juste que je ne comprends pas vos réactions à tous, pouquoi parler d'utilité avant de travailler dessus?
"Bah, les surfaces de Riemman, je connais pas, donc ça sert à rien."
Je pense bien que ce n'est pas votre mode de pensée, alors svp agissez en conséquence!!!

Je ne m'appelle pas Algibiri, je ne parle pas de grandeur et de médiocrité mais bel et bien de maths!!!!

Comprenez donc que le fait que personne ne s'intéresse à cette question difficile pour moi me révolte un peu, quand même!!!

SXB · February 2007

Bon, un dernier message (sinon cela tourne vraiment au monologue) pour dire que vraiment je ne comprendrais pas que des matheux puissent ignorer comme cela pendant des mois quelque chose qui ouche à leur domaine de prédilection!

Je suis vraiment attristé sur ce coup là. D'ordinaire sur ce forum je suis motivé et bon vivant.

Et là, voyez le résultat! Je fais des monologues, mais ce n'est pas ma faute!

Si quelqu'un pouvait répondre en faisant des maths ce serait vraiment bien!

rémi · February 2007

C'est quoi ta question. De plus Gerard t'as déjà poser une question intéressante "As-tu trouvé une application utile ? "

Et franchement tu as abuse carrément de poster dans tous les messages sur les nombres premiers, tu pourrais avoir un peu plus de respect envers tes camarades. Si tu voulais voulais qu'on te réponde, tu pouvais poster dans ton sujet.

Rémi.

SXB · February 2007

Oui, je suis d'accord sur ce dernier point, mais je ne comprends pas pourquoi personne ne s'y est intéressé.

Je ne le ferai plus. D'ailleurs j'ai "astucieusement" modifié ce que j'ai écrit dans les autres fils.

La question de Gérard est évidemment intéressante. Mais svp pourquoi n'essayez vous pas de le résoudre.
Pour la seconde fois, la question est:

"Bon, pour relancer le débat, je poserais cette question: est-il possible, pour tout entier naturel non nul n, de trouver, déjà, une permutation s de l'intervalle d'entiers {0,..n}, un nombre entier naturel p entre 0 et n-1, un nombre u égal à -1 ou 1 et un n+1-uplet (a0,...,an) tel que:

1 < u_s(0)^a0x...xu_s(p)^ap +uxu_s(p+1)^ap+1x..xu_s(n)^an < (u_n+1)² ?????"

En précisant que les x sont le signe multiplié.

Voilà et merci!

Encore pardon pour ces interventions, mais franchement on voit bien à ce qu'il y a avant que personne ne s'y intéressait malgré mes appels!
C'est la réponse que je donne à ta phrase:

"Si tu voulais voulais qu'on te réponde, tu pouvais poster dans ton sujet."

D'ailleurs, si je dis que c'est la seconde fois, c'est bien parce que cette même question est écrite quelques messages plus haut.

Enfin, je sais bien que c'est abusé ce que je fais, mais comment faire, sinon, depuis le 19 janvier cette question est sur ce forum et je n'ai trouvé aucun raisonnement mathématique dessus.

Bien sûr que les quelques questions étaient constructives, mais elles n'ont rien apporté de mathématiques, j'aimerais des réponses et pas seulement des questions.

Sinon, je vais effacer ces messages déplacés en espérant que toi, Rémi, tu t'essaieras à ce pb.

Enfin, c'est vrai, quoi, je parle d'un nouveau style potentiel (je veux dire un truc qui pourrait peut-être en être un) d'obtention par récurrence de la suite des nombres premiers!

Je trouve que cela mérite quand même peut-être un peu d'attention, d'autant plus que depuis 3 ans la mienne s'y porte, ce n'est pas pour rien quand même, enfin, j'espère et j'aimerais au moins le savoir si c'est le cas!

Ce coup-ci on ne pourra pas me dire que c'est un manque de respect ce que je dis!

Yop0 · February 2007

SXB : le problème, c'est que des choses dans le genre, on peut en inventer des millions... Alors vu que ta prose est difficile à lire et vu que tu ne donnes aucune motivation (c'est-à-dire aucune raison de penser que ça pourrait être intéressant), il faut vraiment n'avoir que ça à faire pour réfléchir à ton problème...

Si des gens compétents et motivés veulent regarder cela, voilà un énoncé peut-être plus lisible (si j'ai bien compris) :

Pour tout entier $n\ge 1$, je note $P_n$ l'endemble des $n$ premiers nombres premiers et $u_n$ le $n$ème nombre premier.

Existe-t-il, pour tout $n$, deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que :
1) Tous les diviseurs premiers de $a$ et de $b$ appartiennent à $P_n$
2) $a$ et $b$ sont premier entre eux
3) On a $1<a-b<u_{n+1}^2$ ou $1<a+b<u_{n+1}^2$.

Je te laisse corriger si ce n'est pas la question.

[Corrigé selon ton indication. AD]

SXB · February 2007

Euh c'est bien dit, cet énoncé, à part quelque chose: il vaut mieux en plus rajouter dans l'énoncé que tu as donné que tout élément de Pn soit diviseur de a ou bien de b.

Cela évite justement qu'il soit diviseur de a+b ou de a-b.

Merci de m'aider à résoudre ce problème expressionnel et de clarté.

C'est drôle parce qu'avant c'était encore pire! Je parlais de k uplets, etc, et c'est mon prof de sup qui m'a fait remarquer qu'on pouvait résumer tout cela avec une permutation. Eh bien, à partir de maintenant je l'énoncerai comme tu l'as fait (à la correction que j'y ais apporté près):

Soit n un entier naturel non nul et soit u_n le nième nombre premier.
Soit Pn l'ensemble des n premiers nombres premiers, on a :

1) le résultat suivant:

S'il existe a et b deux entiers naturels non nuls tels que:

a) La réunion des ensembles de facteurs premiers distincts de a et de b soit égale à Pn.

b) a et b soient premiers entre eux et tous deux différents de 1.

c) 1< a-b < (u_n+1)² ou 1< a+b < (u_n+1)².

Alors le nombre qui vérifie cette inégalité (qui est alors soit a+b ou a-b) est premier et supérieur ou égal à u_n+1.

2) La question immédiate suivante:

Deux tels nombres existent-ils?

3) La question visée.

Si la réponse à la question 2) est affirmative, alors parmi les couples (a,b) solutions en existe-t-il tq a+b= u_n+1 ou a-b=u_n+1?

Remarque: pour n grandissant la réponse concernant a+b devient évidemment négative, tous mes espoirs sont dans a-b.

Yop0 · February 2007

(ça te permettrait de générer un nouveau premier à partir de la connaissance d'un des $P_n$ mais ensuite tu fais quoi ?)

(j'ai pas spécialement récléchi).

SXB · February 2007

Ben ouais voilà c'est ça! Bon, si tu revois mon avant dernier message, tu vois qu'en particulier générer u_n+1 c'est bon but ultime pour l'instant. Ben ensuite, c'est là que je sais plus.

Par exemple, si plusieurs couples a et b venaient à être solution, alors on pourrait tenter de minimiser a, ce qui serait équivalent à minimiser b.

Et puis on pourrait déjà essayer de les calculer les a et b soultions je sais pas du tout ce que l'on pourrait trouver en chemin.

Enfin, je sais pas, c'est pour cela que je dis que ça peut ouvrir des portes, on pourrait trouver des relations entre des suites de (a,b) en fonction de n.

Franchement je sais pas c'est là que je ne sais plus, il faudrait déjà le démontrer, on verrait ensuite ce qu'on peut faire, mais en tout cas moi je trouve que franchement si on a trouvé des tonnes de résultats là dessus ben ils se cachent bien!

tiens, des exemples:

1< 2+3 <25 et 2+3 =5. De même 1 < 3²-2² < 25 et 3²-2²=5. De même 1 <32-27=5<25
ensuite 1<2*5-3=7<49, 1<3*5-8=7<49
etc j'en ai trouvé d'autres mais je ne garantis rien pour tout n.

Comment dire si avec des puissances très garndes on ne peut pas avoir de a et b très grands différence très faible entre a et b, différence égale à _n+1?

Et au pire, même si on ne peut pas le faire, avec 2 et trois la limite théorique de nombres systématiquement premiers est quand même pour l'instant supérieure au carré du plus grand dans Pn, en effet elle est de 23 (car 24 et 25 ne sont pas premiers : je sais, vous le savez

).

C'est quand même sympa si ça marche, même si cela ne vaut rien par rapport aux nombres de Fermat, comme système de génération de nombres premiers.

Yop0 · February 2007

<< Si on trouve des choses intéressantes, alors ce sera intéressant >> est tout de même un peu léger comme motivation non !?

SXB · February 2007

Oui, désolé, c'est vrai. Mais bon moi ce seul truc démontré suffit à me motiver, parce que je ne connais pas la réponse finale alors qu'avant elle ne m'aurait pas traversé l'esprit. C'est une question de personnalité.:)

Bon, il faut l'exprimer autrement, alors: on va dire qu'on est là en présence d'un potentiel moyen de générer la suite par récurrence, et que cela mérite d'être creusé.

Mon prof d'infos m'avait dit (et j'ai compris en probas-stat pas très rigoureuses)
qu'en gros plus un évènement était improbable, plus il apportait des informations.

Alors je ne sais pas si cela marche tout le temps, là justement je sens qu'il est très improbable que la réponse soit positive, eh bien j'en "déduis" de si elle l'étais on en apprendrais beaucoup.

Enfin, je sais pas, ça donne quand même à réfléchir ce truc, non? Ce que je veux dire, c'est que si personne n'arrive à répondre à la question 2 alors ça ne risque pas d'être intéressant, et que dans le cas contraire, eh bien on ne sais pas.

Mais je pense que qui ne tente rien n'a rien et que ça vaut le coup d'essayer.

Franchement, je ne peux pas en dire plus que ce que j'en sais, mais c'est là un pb que toi-même tu as énoncé simplement et je pense que tu as bien compris qu'il fallait au moins être compétent (je reprends ton terme) pour y répondre.

Et puis les chercheurs pros ne connaissent pas non plus l'utilité de leurs trucs tout de suite, je me trompe?

Toto.le.zero · February 2007

si j'ai bien compris, tu proposes une méthode pour construire un nouveau nombre premier à partir d'anciens nombres premiers supposés déjà construits. Je n'ai pas vérifié la validité de ce que tu avances, mais si c'est bon, je ne sais pas si ton algorithme est utilisable en pratique: déjà chercher de tels nombres a et b peut être fastidieux (mais je le repète je ne sais pas) et bien sûr on ne construit a priori pas tous les nombres premiers ainsi.

Comme application, je verrais que cela entraîne que l'ensemble des nombres premiers est infini, mais c'est déjà bien connu

SXB · February 2007

Lol en effet c'est une application. En fait, je ne vois pas très bien ce que veut dire le mot application: avec un autre théorème que j'ai trouvé ensuite j'ai trouvé des propriétés inédites liées certains nombres à plusieurs centaines de chiffres rien qu'avec le programme dev C++. Mais bon cela par contre je vais le publier, et pas tout de suite, je veux justement améliorer et compléter tout cela car chacune de mes découvertes ne sert encore pas assez, j'attends d'avoir quelque chose de plus complet...et de plus utile

A vrai dire le théorème que je présente ici et l'autre ne sont pas vraiment liés. Ils peuvent être assemblés mais c'est difficile à dire, je préfère travailler sur le second et le compléter et le publier et sur le premier avec vous et on le publie ensemble (de toute façon ça se verra qui l'a fait, sur ce forum).

Au fait, ce que j'ai trouvé marche (vérifié 1000 fois en trois ans) mais il reste encore des trucs, ce n'est pas encore une méthode, puisque l'existence d'un tel couple (a,b) n'est pas démontrée.

Justement je voudrais qu'on le complète à plusieurs et que si c'est un bon truc quand on l'officialisera on dira ben voilà au début que j'ai trouvé un truc, puis qu'il a été complété sur ce forum...la vérité, quoi!

En tout cas si tu relis bien mon espoir est d'avoir un nouveau moyen de reconstruire la suite par récurrence. Et puisque justement il est très improbable que cela marche, si jamais ça devait marcher ça nous apporterait des tonnes d'informations, comme tout fait improbable, mais ça c'est le raisonnement de mon prof d'info...:)

Au pire cela constituera un générateurs de nombres premiers jusqu'à environ le carré du plus grands parmi ceux connus consécutivement.

par exemple pour n=2 (seul cas accessible au calcul de tête non je plaisante) et a+b: 2+3=5 avec a=2 et b=3
2²+3=7 avec a=4 et b=3
2+3²=11 avec a=2 et b=9
2²+3²=13 avec a=4 et b=9
2*2*2+3²=17 avec a=8 et b=9
2*2*2*2+3=19 avec a=16 et b=3

pour n=2 et a-b:

2*2*2*2*2-3²=23 avec a=32 et b=9

le tout strictement en dessous de 25.

Mais attention je n'ai jamais affirmé l'existence d'un tel couple (a,b), c'est justement ma question!!!

Et puis même au dessus de 25: le théorème présenté ici ne s'aplique plus mais on en trouve pas mal encore, des nombres premiers:

Sauf erreur...

16+9=25 pas prem mais carré de 25

27+4=31

64-27=37

32+9=41

27+16=43

128-81=47

Bon pour 53 c'est assez ennuyeux. En fait, de manière générale pour n=2 il faut chercher les puissances de 2 les plus proches possible d'une puissance de 3...

et ce n'est pas si simple!!!

Voilà un bon pb de topo...que je vais mettre dans la rubrique analyse...

lg0 · February 2007

est ce que cela permet d'avoir une estimation du nombre de nombres premiers entre le dernier et son carré ex: entre 186163 et 186163² ?

par exemple combien y'a t'il (estimation) de premiers entre : 186163² et 186161²
p2 = 186163 ; p1 = 186161 qui sont deux premiers jumeaux.

estimation :
p2² – p1² = D = 744648, puis :

(D / 3,75) – (D / 4,5) = 33095 P environ ; (D / 3,75) – (D / 4,4) = 29334 P environ.
Nombre de P entre : 34656662569 et 34655917921 : 30611 N.P.
(4,4 est une bonne valeur et 3,75 est la valeur zéro)

SXB · February 2007

Non, pas encore, mais peut-être qu'à l'avenir cela pourrait le permettre.

Allez, Micke, j'attends votre réaction!

SXB · February 2007

Bon, moi ça me déprime, j'abandonne, vous pouvez fermer ce fil.

borde · February 2007

Pour répondre à lg dans son dernier message, dans lequel il souhaite estimer le nombre de nombres premiers entre $x$ et $x^2$, on a, disons pour $x > 600$ : $$\pi(x^2) - \pi(x) \leqslant \frac {x^2}{2 \ln x} \left ( 1 + \frac {0,6381}{\ln x} \right ) - \frac {x}{\ln x} \left ( 1 + \frac {1}{\ln x} \right ) \leqslant \frac {x^2 - 2x}{2 \ln x} \left ( 1 + \frac {1}{\ln x} \right ).$$ Par exemple, avec cette borne, le nombre de nombres premiers compris entre $186163$ et $186163^2$ n'excède pas $1545704784$.

D'autre part, le TNP implique que, lorsque $x \rightarrow \infty$, on a : $$\pi(x^2) - \pi(x) = \mbox {Li}(x^2) - \mbox {Li}(x) + O \left (x^2 \exp \left ( -c \sqrt {2 \ln x} \right ) \right ),$$ avec $c > 0$. Cette estimation est ce que l'on peut donner actuellement (pas la meilleure, mais pas très loin), mais, si HR était vraie, alors on aurait : $$\pi(x^2) - \pi(x) = \mbox {Li}(x^2) - \mbox {Li}(x) + O \left (x \ln x \right ).$$

Borde.

lg0 · February 2007

bonjour borde

c'est interressant,

D = 186163² - 186163

ma fomrule donne D/3.75 - D/4.5

1.540.296.114 premiers de 186163 jusqu'à 186163² au maxi et:

1.365.268.164 premiers au minimum

mais qu'elle est la valeur donnnée par la formule si HR était vraie,

je ne peux pas la calculer,
si tu pouvais me donner le résultat pour le comparer avec les deux résultats ci dessus; je t'en remerci d'avance lg
amicalement

borde · February 2007

Même HR ne donne pas un résultat précis (et pour cause), puisqu'il y a un terme d'erreur...mais,au fait : d'où sort-tu cette formule $D/3.75 - D/4.5$ ?

Borde.

lg0 · February 2007

cette formule vient de mon algorithme P(30)
le cycle étant 6.4.2.4.2.4.6.2. dont la somme =30 ce qui donne 26.666..% des entiers naturels donc 3,75 comme diviseur

par ex de 1 a 100
100/3.75=26.666...des nombres congrue P(30) pour p de 7 à 31

si on prend un facteur K > 1 p = 2 et q = 1 soit le triplet 3,4 et 5 et leurs multiples, il ne reste que l'Ensemble p(30) qui n'est pas énuméré par ces triplets
3, 4, 5
6, 8, 10,
9, 12,15
etc etc à l'infini;
c'est a dire les multpile de 2,3 et 5

de ce fait tous les nombres impairs qu'ils manquent sont tous les nombres premiers et les composés C = p(30).

si on prend le cycle avec une moyenne de 4 l'ensemble p(30) ne pourrait comporter tous les nombre premiers il y aurait trop d'intervalle sans nombre premiers
et si on prend 5 cela est faux comme estimation trop de premiers

j'ai fait des tests et la valeur la plus réel c'est 4,4 qui n'est pas sans raison
le nombre d'or = 0,618..
pi = 3,142..
curieusement j'avais remarqué que la somme de ces deux nombres = 3,76 correspondait au rapport des entiers naturel et des entiers p(30)
et curieusement aussi
je retrouve le même rapport 3,75 + 0.618 = 4,37 ce nombre serait le coéficient minimum pour calculer le nombre de premiers, entre deux premiers au carré .

voila c'est deux formules 4,5 c'est un maximum lorsque P tend vers l'infini.

ma question était donc pour la valeur qui nous concerne combien donne ta formule avec HR afin de voir si elle se situe autour de
D/3.75 - D/4.37 = nbr de P entre deux p², par exemple

("ou comme cela est montré: 186163² - 186163 ")

aurrais tu la gentillesse de me donner le résultat ?
merci lg

(" actuellement mon algo calcule le nombre de premiers = 1(30) jusqu'à
450 000 000 000 le dernier étant 449 999 999 821
il doit y en avoir: 2 181 043 575 pour cette famille 1(30)

la formule donne avec 4,4 donne 2 215 909 090 de moyenne par famille (il y en a 8 bien sur.)
avec 4,37 cela donne : 2 128 146 453; c'est à dire 53 000 000 de moins que la réalité.")

borde · February 2007

Je dois avouer ne pas avoir très bien compris ce que tu racontes...D'autre part, le nombre d'or est $\approx 1,61...$, non ?

Quant à ta dernière question, tu veux savoir combien vaut (à peu près) $\mbox {Li}(186163^2) - \mbox {Li} (186163)$, non ? Soit tu utilises un calculateur et la définition $\displaystyle {\mbox {Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac {dt}{\ln t}}$, où, par IPP, tu t'en tiens à la différence $\displaystyle {\frac {x^2}{2 \ln x} - \frac {x}{\ln x}}$ vue plus haut.

Borde.

SXB · February 2007

Ah bah non, quoi, c'est intéressant, mais SVP ouvrez un autre fil, quoi...
laissez moi au moins mourrir en paix ça s'appelle atteinte au droit moral ce que vous faites.

Non, je plaisante. A ce propos our ce qui est de l'initiation à la théorie analytique des nombres premiers il y a un livre génial que je conseille à tous ceux qui n'en ont jamais fait: il porte ce nom, par contre l'auteur...(:P) il faut le chercher vous-mêmes! (Vous croyez que j'ai retenu son nom???)

lg0 · February 2007

c'est exact borde , mais je ne prend que la partie décimale de ce nombre
ce que je fais, je ne travail que dans les entiers P(30) voila pourquoi mon diviseur est 3,75
ce qui est bien le rapport entres les multiples de 2.3et 5 et les entiers P(30) 1 pour 2,75
partant de là je cherche une borne maximum et une borne minimum autour de 4 par exemple la dernière formule que tu m'a indiquer, donne une estimation de nombre premier entre les deux bornes 4,4 et 4,37
il est bien sur entendu, que plus on tend vers l'infini, cette borne mmini tourne autour de 4,09 ..,4.08 mais je pense qu'elle ne descend pas en dessous de 4 !
voila.

SXB · January 2012

Salut tout le monde ... je reprends un post écrit il y a 5 ans ...
ça me fait bien rire de voir comment je n'étais pas clair à l'époque ...
Pour info, je ne me suis plus du tout intéressé au problème...
D'une part, je bosse maintenant, et même si je continue à faire des études à côté, c'est des stat ^^
D'autre part, je n'ai jamais eu le niveau d'études suffisant en arithmétique pour résoudre ce problème...
Comme je n'ai toujours pas, faute de nécessité, avancé sur la théorie, je vais vous mettre l'un des exemples que j'ai pu trouver durant ces 5 longues années.
Ce qui est fou c'est que ça fait maintenant 7 ans que ce pb n'a pas avancé d'un poil ...

Je fais donc une dernière tentative et après j'arrête. Au moins, cette fois je serai clair.
Après, si ça n'intéresse vraiment personne, tant pis, je laisse tomber la question.

Allons-y :

1) J'ai démontré en 2004 un théorème : il donnait une méthode pour construire, à partir des n premiers nombres premiers u₁,...,u_n, des nombres tels que tous ceux d'entre eux qui étaient < u_n+1² étaient alors premiers et >= u_n+1 ;

2) J'ai ensuite montré en 2005 le théorème suivant : on peut reconstuire un multiple de u_n+1 dans IN par la même méthode de construction (à mon avis, quelque soit l'exposant k, il doit être possible, avec le même type de méthode mais seulement à partir d'un certain rang, de reconstruire un multiple de u_n+1^k) ;

3) Suite à ces deux résultats, je me suis posé la question suivante : est-il vrai que pour tout rang n, au moins une de ces constructions (=un nombre construit selon cette méthode) vérifie à la fois les deux conditions ci-dessus ?

Si c'était vrai, ce nombre ainsi construit serait le nombre premier suivant, c'est à dire u_n+1.

On pourrait alors reconstruire la suite des nombres premiers par récurrence, du moment que les "paramètres" de la méthode soient ajustés.

J'ai réussi à construire empiriquement tous les nombres premiers de 5 à 29 de cette façon.

3²-2²=5
5x2-3=7

...(désolé, j'ai paumé les exemples intermédiaires (:P))

29 = 2 437 149 - 2 437 120

Avec :

- 2 437 149 = 3x11x13²x19x23

- 2 437 120 = 2¹² x 5 x 7 x17

On remarque, dans cet exemple, que l'ensemble A des diviseurs premiers de 2 437 149 et celui, B, des diviseurs premiers de 2 437 120, vérifient :

A inter B = vide
A union B = P_n =_def {u₁, ..., u_n}

La question est donc la suivante : ce type de construction des nombres premiers inférieurs à 29 se généralise-t-il à tous les nombres premiers ?

La question est donc de savoir si la conjecture suivante est vraie ou fausse :

Soit P l'ensemble des nombres premiers et, pour tout entier non nul n, P_n = {u₁, ..., u_n} l'ensemble des n premiers nombres premiers.

Pour tout entier n supérieur à 2, l'énoncé E(n) suivant est vrai :

on peut trouver deux entiers a et b vérifiant :

-a et b sont premiers entre eux ;
-la réunion des facteurs premiers de a et b est P_n ;
-a-b=u_n+1.

Sachant que les énoncés E(1), ..., E(10) sont vérifiés.

Par exemple, E(10) est vrai en prenant a = 2 437 149 et b = 2 437 120.

Merci d'avance.

pb sur les nombres premiers? Clarifié à la fin

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