Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
130 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

2007 est-il un nombre brésilien?

Envoyé par bs 
bs
2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Ref : Hypermath de P. Bornsztein + Kalva ( cf: lien)

A la suite de l'Olympiade ibéroaméricaine de 1994,le terme de "nombre brésilien" est passé à la postérité !

{\bf Définition}: un entier $n$ est dit brésilien lorsqu'il peut s'écrire dans une base $b$,telle que $1<b<n-1$,avec des chiffres tous égaux.

Remarque : si on autorise $b=n-1$, c'est trop facile.

Question en 1994: montrer que 1994 est brésilien, mais que 1993 ne l'est pas.
\lien{[www.kalva.demon.co.uk]}

Question Phorum5: montrer que 2007 est deux fois brésilien.( c'est ce que j'ai trouvé )

question ouverte : peut-on caractériser les nombres deux fois brésiliens ?

Comment indiquer le thème Arithmétique ? Merci.

Mathématiquement vôtre.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonsoir,
Autres questions ouvertes:

On a : 1993 premier ===> 1993 non brésilien.

Peut-on généraliser : p premier ===> p non brésilien ? (1)
et réciproque si (1) est vrai, a-t-on : p non brésilien ===> p premier ? (2)

bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Introduisons une notation : j'appelle a le "chiffre" répété.

Tout d'abord, 2007=3²x223. donc les chiffres a sont dans l'ensemble {1,3,9,223,669}.
Il est clair que les chiffres a=223 et a=669 ne conviennent pas car il faudrait une base b supérieure et on ne pourrait pas obtenir n=2007.
Restent donc a=1, 3 ou 9.

Si a=1, alors 2007=1. Or 2006=2x17x59 donc b doit être dans l'ensemble {2,17,34,59,118,1003}.
On vérifie aisément que b=17, 34, 59, 118 ou 1003 ne conviennent pas en calculant les premières puissances de ces nombres.
De plus 2007+1 n'est pas une puissance de 2 donc b=2 ne convient pas non plus.
Finalement a n'est pas égal à 1.

Si a=3, alors 669=1. Or 668=2²x167 donc b doit être dans l'ensemble {2,4,167,334,668}. Encore une fois, b=167, 334 ou 668 ne conviennent pas en calculant leur carré.
Si 669 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 4 alors 669x(4-1)+1=2008 serait une puissance de 4, ce qui n'est pas le cas.
669+1 n'est pas non plus une puissance de 2 donc 669 ne s'écrit pas uniquement avec des 1 en base 2.
Donc a=3 ne convient pas non plus.

Il ne reste que a=9. Alors 223=1. Or 222=2x3x37 donc b est dans l'ensemble {2,3,6,37,74,111,222}. Mais seuls 2, 3 et 6 ne dépassent pas 223 lorsqu'on les élève au carré donc ce sont les seuls qui peuvent encore convenir.
Si 223 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 6 alors 223x(6-1)+1=1116 serait une puissance de 6, ce qui n'est pas le cas.
Si 223 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 3 alors 223x(3-1)+1=447 serait une puissance de 3, ce qui n'est pas le cas.
Si 669 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 2 alors 223x(2-1)+1=224 serait une puissance de 2, ce qui n'est pas le cas.
Donc a=9 est également écarté.

Finalement, je ne trouve aucune solution !!
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonsoir bisam,

je trouve aussi comme valeurs possibles de a : 1,3 ou 9.
d'accord a=1 ne convient pas.
si a=3, refais le calcul avec 668.
si a=9, l'un des b correspondant à l'ensemble que tu as déterminé convient aussi.

Tout au moins,j'espère fortement ne pas m'être trompé, mais tu me fais douter...

Amicalement.
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Bonsoir

je suis d'accord avec bisam !( au fait et mon systeme?, il vaut le détour à mon avis , et ne merite pas les oubliettes;)

Oump.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Pour ce qui est de la 2ème conjecture (p premier => p non brésilien) ... je crains fort que les nombres de Mersenne premiers (par exemple : 7=1+2+4 ou 31=1+2+4+8+16) contredisent le résultat.

Pour ce qui est de 668, admettons que j'ai été un peu trop vite : on a bien 2007=668*3+3 et de même, 222*9+9=2007 donc on a bien 2 solutions.

Ca m'apprendra à vouloir tout faire sans papier !

PS : Ce n'est pas souvent qu'on pourra le dire... mais même Oumpapah s'est fait avoir !
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonsoir,

Les amis de Provence viennent de partir, je viens rejoindre ceux du phorum...
Ouh la la : bisam + oumpapah ! c'est du très joli monde.

Merci bisam pour les nombres de Mersenne premiers, joli contre-exemple.
De quel système parles-tu, oumpapah ? merci.
[ [www.les-mathematiques.net] . AD]

Au dodo.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonjour

Quelques résultats sur ces nombres brésiliens suite à mes réflexitudes;)

{\bf Propriété 1}:
Il existe
---> des nombres non brésiliens (exemple: $1993$) ;ref:Hypermath (a35)
---> des nombres 1-brésiliens (exemple: $1994 =(22)_{996}$ ;ref:Hypermath (a35)
---> des nombres 2-brésiliens (exemple :$2007=(33)_{668}= (99)_{222}$ ;ref: bs validée par bisam.

{\bf Théorème 1} : Tout nombre pair, supérieur ou égal à 8, est brésilien: donc pour $k>3$ (ref : kalva)
$$n=2k=(22)_{k-1}$$
{\bf Théorème 2} : plus généralement,
Tout nombre $n=ak$ ,avec $2 \leq a \leq k-2$, est brésilien: (ref: bs), car alors:
$$n=ak=(aa)_{k-1}$$
A suivre.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Re,

Comme 1993 est premier et non brésilien, il est légitime de se demander s'il existe une relation entre premier et non brésilien.

{\bf Conjecture 1} : "tout nombre premier est non brésilien" est faux.
contre-exemple de bisam: tout nombre de Mersenne premier$M_n$,pour$n>2$, est brésilien.
$$M_n=2^n-1=(1111..111)_2$$avec $n$ fois $1$ dans l'écriture en base $2$.

{\bf Conjecture 2} : "tout nombre non brésilien est premier" est faux.
Contre-exemple : 9.
Mais , suite au théorème 2, ces contre-exemples demeurent rares: peut-être uniquement les $p^2$ avec $p$ premier.[ A vérifier]

Question: quel est le plus petit nombre brésilien? [pour vérifier si mon résultat est juste]

Merci.
TV
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Bonjour,

très intéressant ces nombres brésiliens.
J'ai trouvé que 2007 était aussi un nombre brésilien travesti !

Il s'écrit 1UN dans base 32.

Cordialement

TV
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Le plus petit nombre brésilien ?
Il est au moins égal à 4 car n-1>b>1 donc b>=2 et n>=b+2.
4 ne convient pas en base 2 et n'est pas accepté comme brésilien en base 3 (car n-1=b).
5 ne convient ni en base 2 ni en base 3 et n'est pas accepté comme brésilien en base 4 (car n-1=b).
6 ne convient pas en base 2, 3, 4 et n'est pas accepté comme brésilien en base 5 (car n-1=b).

7=1+2+4 est brésilien en base 2 et est donc le plus petit nombre brésilien.
8=2+2*3 est également brésilien en base 3.
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Pour bs ( et autres amateurs:Olivier,Domi,Galax,GG,gb,Bisam and so on)

je rappelle le système à resoudre et discuter(dans R)
inconnues x,y,z
données u,v,w >0

x²+xy+y²=u²
y²+yz+z²=v²
z²+zx+x²=w²

question supplémentaire : on suppose u, v, w entiers
peut on avoir x,y,z entiers?

( par exemple avec u=511, v=455, w=399

on a comme solution en nbs positifs

x=195, y=264, z=325

géométriquement: soit T le point de torricelli du triangle ABC tel que

AB=w, BC=u, CA=v

alors AT=x, BT=y, CT=z;

vous voyez alors d'ou provient lidée du système initial proposé.

(ce système initial a des solutions ssi u,v,w sont les cotés d'un triangle
et on a alors deux solutions essentielles ( en imposant x>=0) )

Autre pb soumis à votre réflexion ( niveau lycée ou L1)

on appelle triangle pseudo-rectangle ( ou hyperbolique?)un triangle dont deux des angles diffèrent de Pi/2

explication du nom: si on appelle H l'hyperbole équilatere d'equation

X²-Y²=a²

de sommets S' et S , alors si M est un point de H , le triangle S'SM est pseudo rectangle.(propriété bien connue)

expliciter un polynome homogène du 4eme degré f(x,y,z) tel que

f(x,y,z)=0

caractérise les triangles (x,y,z) hyperboliques.


enfin resoudre l'équation diophantienne f(x,y,z)=0

( par ex solution AB=20 AC=15 BC=7
on a cos(B)=4/5 et cos(C)=-3/5

il y a un bon theme pour les terminales maths spe..(n'est ce pas olivier?)


enfin pour terminer:(facile , niveau lycée)

en appelant triangle indien (pourquoi pas ?),un triangle dont un des angles vaut 2Pi/3), résoudre l'équation diophantienne les caractérisant à cotés entiers

i.e. résoudre en entiers : x²+xy+y²=z² (xyz#0)

plus petite solution: (3,5,7)

en prenant trois triangles (3,5,7) et les triangles (3,3,3), (5,5,5), (7,7,7)

assembler les pour faire un magnifique parallelogramme qui merite un dessin

( si une bonne ame pouvait expliquer comment les réaliser ici, je me sentirais moins bete !)

Oump.

[J'ai déplacé ce message dans le fil correspondant. Prière d'y continuer la discussion sur ce sujet. AD]
[www.les-mathematiques.net]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Salut Claude,

Le thème des pseudo-triangles entiers est effectivement bon, mais je le crois plutôt d'un niveau plus élevé que ce que l'on fait en TS, même spécialité. Il me semble l'avoir vu un jour comme énoncé d'un concours général. Mais il faudrait y réfléchir, pour adapter cette idée.

Au fait : bonne année !

Borde.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonjour,
Au sujet des nombres brésiliens:

1) OK et merci bisam: la suite des nombres brésiliens est donc:$$7,8,10,12,13,14,15,....$$or quand je tape cette liste dans l'encyclopédie des suites:
\lien{[www.research.att.com]}
celle-ci n'apparaît pas.

2)J'ai donc envoyé un message à NJA Sloane pour lui faire part de cet oubli, en indiquant les références de L'Olympiade ibéroaméricaine,de Hypermath de Pierre Bornsztein (exercice a35) ,du Phorum5 et de bisam. Je vous tiendrai au courant.
Bisam: je t'envoie copie du message.

3)Quelques nouvelles propriétés:

{\bf Propriété 2}: En dehors de 1 et 6, tout nombre non brésilien est soit premier, soit le carré d'un premier.(Preuve par le théorème 2)

{\bf Propriété 3}: Il existe des nombres premiers brésiliens et des nombres premiers non brésiliens.

Entre 1 et 50 :$2,3,5,11,17,19,23,29,37,41,47$ ne sont pas brésiliens,mais,
$7=M_3=(111)_2, 13=(111)_3, 31=M_5=(11111)_2=(111)_5, 43=(111)_6$ le sont.

{\bf théorème 3}: [Réf: message gb du 21/01/07 à 18h19]
Si $p$ premier est brésilien, il s'écrit $p = 1 + b + \cdots + b^{q-1}= (111..11)_b$ avec $q$ premier impair. L'écriture de $p$ en base $b$ comprend alors $q$ fois le chiffre 1.

Question: est-il possible de caractériser ces nombres premiers brésiliens ?

{\bf Conjecture 3}: tout nombre $p^2$ avec $p$ premier n'est pas brésilien.
(Pourquoi Sylvain serait-il le seul à émettre des conjectures?:)
Remarque : c'est le cas de $2^2,3^2,;5^2,7^2$...

Merci.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Waouhhhhh,

NJA Sloane a répondu qu'il acceptait cette suite de nombres brésiliens qui sera référencée: A125134.

Alain, pour quelle raison le lien ne fonctionne-t-il pas?
[www.research.att.com] [Voilà le lien :) AD]

Peut-être ce serait donc bien de progresser sur les questions en cours + celles que vous trouverez ?

Amicalement.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Il semblerait que les premiers brésiliens soient de la forme $6n+1$:

$7=6.1+1,13=6.2+1,31=6.5+1,43=6.7+1$
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
je n'avais pas remarqué: merci Sylvain; vais essayer de creuser cela.

Si l'un d'entre-vous, je pense à ceux qui écrivent dans les mêmes revues que P.Bornsztein, peut prévenir Pierre, ce serait sympathique.

Merci.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Si $p$ est premier et que $p$, ou $p^2$ s'écrit $(11..11)_b$ avec $n$ chiffres, alors $n$ est premier, et il me semble que $p \equiv 1 \pmod{n}$.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Je trouve que $73=1.8^2+1.8+1$ est brésilien.
Or $73=6.12+1$.

Il semblerait (mais c'est à prendre avec précaution), que les $n$ tels que $p=6n+1$ soit brésilien soient les termes de la suite $u_k=\frac{p_{k}^2-1}{24}$ avec $k>2$.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Les brésiliens premiers suivants confirment-ils ton hypothèses ?
$1\,093 = \dfrac{3^{7}-1}{2}$
$797\,161 = \dfrac{3^{13}-1}{2}$
$3\,754\,733\,257\,489\,862\,401\,973\,357\,979\,128\,773 = \dfrac{3^{71}-1}{2}$
$19\,531 = \dfrac{5^{7}-1}{4}$
$12\,207\,031 = \dfrac{5^{11}-1}{4}$
$305\,175\,781 = \dfrac{5^{13}-1}{4}$
$177\,635\,683\,940\,025\,046\,467\,781\,066\,894\,531 = \dfrac{5^{47}-1}{4}$
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Hélas non...$1093=6.182+1$ et $182.24+1=4369=17.257$.
En revanche, ils sont tous de la forme $6n+1$.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Si $p$ premier est brésilien, il s'écrit $p = 1 + b + \cdots + b^{n-1}$ avec $n$ {\bf premier impair}. Donc $p-1 = b + \cdots + b^{n-1}$ est pair.
Si $b$ est multiple de 3, alors $p-1$ itou.
Si $b \equiv 2 \pmod 3$, alors $p-1 \equival 2 + 1 + \cdots + 1 \equiv 0 \pmod 3$.
Dans ces deux cas, le théorème de Gauss assure que $p-1$ est multiple de 6.

Si $b \equiv 1 \pmod 3$, alors $p-1 \equiv n-1 \pmod 3$, et $n-1$ n'aucune raison d'être multiple de 3.
Si la conjoncture de Sylvain est vraie, on a un plus, une limitation sur les valeurs de $b$ : $b \not\equiv 1 \pmod 3$.
Il est vrai que je n'ai pas trouvé de nombres premiers de la forme $(11..11)_4$
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Déjà on ne peut pas avoir $b=3k+1$ et $n=3$.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonsoir,

Oui gb,tous les nombres premiers brésiliens que tu as calculés sont de la forme $6q+1$; de plus, claires sont tes explications pour aller dans le sens de la conjecture de Sylvain.

Ce que vous trouverez ( je m'adresse à tous) figurera avec vos coordonnées dans le récent sujet ouvert ce jour dans l'Encyclopédie en ligne des suites d'entiers (NJA Sloane - A125134) sous le titre nombres brésiliens. Ca fera de la maxi-pub pour le Phorum5 déjà cité dans la séquence.

Amicalement.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
J'avoue ne pas voir pourquoi.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Bonjour bs, stp qu'est-ce qu'un nombre 2 fois brésillien?
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
C'est un nombre qui peut s'écrire sous deux formes $(aa...aa)_b$ et $(cc..cc)_d$

Par exemple $(31)_{10} = (11)_{30} = (11111)_2$
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
J'ai dit n'importe quoi parce que $(11)_{31}$ n'est pas une écriture brésilienne.
Mais on a :
$(30)_{10} = (22)_{14} = (33)_9$
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Attention: Tout nombre $n=(11)_{n-1}$, c'est la raison pour laquelle , dans sa définition, P.Bornsztein proscrit cette écriture. Il faut donc $1<b<n-1$.

Par exemple : $31 = (111)_5 = (11111)_2$ ( exemple de gb ).
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Voici un magnifique nombre premier
$$(2801)_{10} = (11111)_7$$
qui n'est pas de la forme $6n+1$.
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Bonsoir,

oui, il est facile de montrer que les bresiliens premiers sont bien multiples de 6 plus 1.( apparemment ce doit etre connu ?)

Oump.
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
hum
:S
ecrit trop vite..ilfaut ajouter "les premiers bresiliens en base 3 sont multiples de 6 plus 1..(ce qui est d'une banalite rare!)la preuve..avec l'ex de gilles!
il est temps de faire dodo..
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
oumpapah &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Bonsoir,
>
> oui, il est facile de montrer que les bresiliens
> premiers sont bien multiples de 6 plus 1.(
> apparemment ce doit etre connu ?)
>
> Oump.

J'aimerais bien, d'une part voir cette preuve {\it facile}, d'autre part savoir ce que tu fais de mon exemple $(2801)_{10} = (11111)_7$.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Ah merci.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
C'est plus clair maintenant.

Par contre gb tu as dit avoir fait une erreur alors que tu avais marqué autre chose au dessus. Tu disais que (11)31 n'était pas une écriture Brésiliene mais avant tu l'avais écrit en base 30. Or (11)30 est bien une écriture Brésiliene, ah ben non car 30=31-1.



Edité 6 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
:)-Dbs &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Bonsoir,
> Autres questions ouvertes:
>
> On a : 1993 premier ===> 1993 non brésilien. [il n'y a pas vraiment d'implication à proprement parler en fait (SXB)]
>
> Peut-on généraliser : p premier ===> p non
> brésilien ? (1)
> et réciproque si (1) est vrai, a-t-on : p non
> brésilien ===> p premier ? (2)
>
> bs

Conjetcure fausse, les nombres premiers de Fermat (ceux qui sont premiers) sont premiers et Brésiliens de base 2, en effet:

31=1+2+2²+23+24 par exemple.

La réciproque est également fausse: Si 32 était brésilien, on aurait:

32= a (1+...+bu) avec 0< a < b < 31

Mais alors: si u>2 on a: pour a=1 et b=2:

32 = a (1+...+bu) > 1+2+...+16=31 mais pout tout autre a ou b dans le domaine valide d'existence le nombre en question est > 32.

Donc u=2 (u différent de 1 d'après la def d'un nombre brésilien).

donc 32=a(1+b+b²).

Impossible (à vérifier c'est facile).

Donc 32 est non brésilien. Or 32 n'est pas premier.

La réciproque est donc fausse également. Dommage moi aussi j'adore les nombres premiers c'est ma spécialité en maths j'ai trouvé des trucs dessus même (cf en part l'un des topics sur les nombres premiers).

On a donc les 4 cas:

1994 brésilien non premier
32 non brésilien non premier
1993 non brésilien premier
31 brésilien premier.

Essayons donc la conjecture suivante: p premier implique que:

"p est brésilien OU BIEN p+1 l'est"

A voir j'y ai pas encore réfléchi

gb &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> oumpapah &Eacute;crivait:
> --------------------------------------------------
> -----
> > Bonsoir,
> >
> > oui, il est facile de montrer que les
> bresiliens
> > premiers sont bien multiples de 6 plus 1.(
> > apparemment ce doit etre connu ?)
> >
> > Oump.
>
> J'aimerais bien, d'une part voir cette preuve {\it
> facile}, d'autre part savoir ce que tu fais de mon
> exemple $(2801)_{10} = (11111)_7$.


Bonsoir, ton exemple est faux, c'est 2701, qui est bien congru à 1 mod 6, qui vaut 1+7+49+243+2401=1+7+7²+73+74...je vais te démontrer cette conjecture:

p est premier: si p= 2 ou p=3 forcément p est non brésilien.

sinon: p=1 ou 5 mod(6).

Or forcément le chiffre a dans la base b vaut 1 sinon p est non premier (absurde). Donc p=1+b+...+bu, avec u>1 par def d'un brésilien.

Si p est congru à 5 mod 6, alors faisons tous les cas:

Si b est congru à 0 mod 6 on a p congru à 1 mod 6 OK et en plus contradiction avec p congru à 5 mod 6.

Si b= 1 mod 6 alors forcément p = u mod 6 donc u=5k-1, avec k>0 donc forcément on a p=(1+b+..+b4)(1+b5+...+ b5k) avec b puissance 5 confondu avec b puissance 5k si k=1, donc p est non premier (absurde).

Si b=2 mod 6alors b²= 4 mod 6 donc b+b²=0 mod 6 donc si u=2m on a:

p= 1+ b+b²+...+b2m-1+b2m=1+(b+b²)(1+.......+b2m-2=1 mod 6 donc OK et si u=2m+1 on a p= ce qui précède +b2m+1 = 3 mod 6 donc bye bye en plus il est pas premier donc double bye bye.

Si b=3 mod 6 alors forcément idem si u pair p=1 mod 6 OK. Si u est impair alors p=4 mod 6 donc p non premier bye bye.

Si b=4 mod 6 alors p=5 mod 6 ou 3 mod 6 selon resp que u est impair ou pair
mais bon si p=3 mod 6 p pas premier donc bye bye et si u=2m+1 impair alors forcément

p=1+4+...+42m+42m+1=(1+4m+1)(1+16+.....+42m) ou un truc dans ce genre avec confusion avant et après les 3 pts de suspension quand m=1, donc p non premier donc bye bye.

Enfin, si b= 5 mod 6, alors b=-1 mod 6 donc si u impair p= 0 mod 6 donc p non premier bye bye et si u pair alors p=1 mod 6 OK.

Donc p=1 mod 6, CQFD BYE BYE!!!!!!!!!!!!!



Edité 16 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
oumpapah &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> hum
> :S
> ecrit trop vite..ilfaut ajouter "les premiers
> bresiliens en base 3 sont multiples de 6 plus
> 1..(ce qui est d'une banalite rare!)la
> preuve..avec l'ex de gilles!
> il est temps de faire dodo..


Comme quoi, soit je me suis trompé, soit il n'est pas besoin de parler de ce 3, la démo le fait toute seule.

En plus, dire: "il faut ajouter" signifie qu'il a oublié de marquer tout ce qui est entre guillemets, or dans l'hypothèse ou j'aurais foiré ma démo il ne faudrait rajouter que la moitié.

En effet grand besoin de dodo, s'il faut rajouter le truc du 3 je voudrais bien voir les contre exemples dans les autres cas. En attendant je vais vérifier ma démo...

Sauf erreur de ma part dans la démo ci-dessus, tous les nombres premiers brésiliens sont congrus à 1 mod 6.

D'ailleurs je viens de me rendre compte d'un truc. Pour ce qui est de ma conjetcure, elle est fausse:

en effet, soit p un nombre premier congru à 5, par exemple 19, il est non brésilien et son suivant est 20 et est non brésillien car pareil on aurait 1+b+b² divise 20 donc b=2 ou b=3 or 1+2+4=7 et 1+3+9=13 bye bye.

Sinon, ma démo est en accord avec le truc b différent de 1 mod 3, mais plus précise car je travaille mod 6.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
SXB &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> :)-Dbs &Eacute;crivait:
> --------------------------------------------------
>
> Donc 32 est non brésilien.

Je suis désolé, mais $(32)_{10} = (44)_7$
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonjour,

En fait ,on étudie les rep-units dans les bases autres que 10 pour trouver ceux qui sont premiers.

Ici, dans le dictionnaire des nombres de G.Villemin, vers la fin de l'article,il y a quelques considérations sur ces nombres.
\lien{[villemin.gerard.free.fr]}

Amicalement.

Bonjour gentil modérateur: pourquoi mes messages ne passent-ils plus ? Je réeesaie une seconde fois. ( hier c'était celui sur les triangles pseudo-rectangles pour oump )

[Un dollar traînait devant le lien que tu as placé dans ton message - Manu].
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Rebonjour,

Concernant la {\bf conjecture 3} : tout nombre $p^2$ avec $p$ premier n'est pas brésilien. Cette conjecture est également fausse ; cependant ,rares sont les rep-units en base b qui soient des carrés de nombres premiers.
Voir le lien sur les rep-units dans le message ci-dessus.
On ne connaît apparemment qu'un seul exemple parmi les nombres $<10000$ :
$$11^2=(11111)_3$$.
Référence : article de Yann Bugeaud, Université de Strasbourg, Pour La Science, mai 1999; rep-units $x^t$ avec $x<10 000$; ces articles sont-ils en ligne après quelques années ?

On a aussi:
$20^2=(1111)_7$, mais $20$ n'est pas premier et donc par exemple $20^2=22_{199}$

Par ailleurs, on a aussi:
$7^3=(111)_{18}$, mais on savait déjà que :$7^3=(77)_{48}$

Merci à tous pour vos résultats.

[Rebonjour Manu, si c'est toujours toi : j'ai écrit 11^2=(11111)_3, et c'est 20^2 qui reste écrit; je ne parviens à réactualiser après correction du Latex.
Merci pour la suppression du dollar sur un précédent message.]
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Re,

pour mettre à jour les récents résultats obtenus:

{\bf conjecture 4}: ref Sylvain :Il semblerait que les nombres premiers brésiliens soient de la forme $6n+1$, exemples: $7, 13, 31, 43, 73, 1093, 19531,...$.
Cette conjecture est fausse.

deux contre-exemples:

1):ce magnifique contre-exemple de gb exhibant le nombre premier
$$2801 = (11111)_7$$
qui n'est pas de la forme $6n+1$.

2) cet autre dû à Oumpapah:
$$11\,111\,111\,111\,111\,111\,111\,111 = \dfrac{10^{23}-1}{10-1}$$
qui est lui aussi premier brésilien en base 10, et n'est pas de la forme $6n+1$.

Remarque : il semble donc exister plus de nombres premiers brésiliens qui soient de la forme $6n+1$, plutôt que de la forme $6n+5$.

Bonne journée.
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Bonjour,

pour me punir:

autre exemple de premier brésilien non multiple de 6 plus 1:


[10^(23)-1]/10

soit en base dix le "repunit" comprenant 23 fois le chiffre 1

Oump.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bonjour Oump,
le numérateur n'est pas divisible par 10 ?
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Re
bien sur lire au denominateur 9 au lieu de 10
(la forme explicite du résultat le laissait deviner!)
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
Bien sûr , Oump : mais , ta remarque m' a donné une idée:

{\bf propriété 4}: (suite remarque d'Oumpapah):
On ne connait que six nombres premiers qui sont brésiliens en base 10.
Ce sont les rep-units suivants :
$R_{19}, R_{23}, R_{317}, R_{1031}, R_{49081}, R_{86453}$

\lien{[www.research.att.com]\~{}njas/sequences/?q=prime+repunits&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search}

[Lien corrigé. AD][merci AD]
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
gb écrivait:
> SXB écrivait:
> > Donc 32 est non brésilien.
> Je suis désolé, mais $(32)_{10} = (44)_7$

Très juste, j'étais fatigué, je ne sais pas pourquoi je me suis mis dans la tête que u (le plus grand exposant de b) ne pouvait être égal à 1. En tout cas c'est vrai pour les nombres premiers.

Par contre, je suis désolé, bs, mais il faut lire : c'est 2071 qui vaut 11111 en base 7 et pas 2801 !!!
Refaire le calcul pour s'en persuader.

Et je ne me suis pas embêté à faire une démo pour qu'on trouve des contre exemples qui en fait n'en sont pas. C'est pas parce que j'ai déclaré que 32 était non brésilien que celle-ci est fausse.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
oumpapah &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> autre exemple de premier brésilien non multiple de 6 plus 1:
> [10^(23)-1]/10
> soit en base dix le "repunit" comprenant 23 fois le chiffre 1
> Oump.

Je suis désolé, mais ce nombre n'est pas premier car il n'est pas entier.
De plus 1023-1 vaut 9*(1+...+1022)
Et puis ce n'est pas parce que je ne sais pas utiliser Latex ou autre programme qui utiliserait le signe somme que mes sommes y sont incompréhensibles!

Pour ce qui est de (1023-1)/9, eh bien...

Ah en fait il pourrait y avoir une erreur dans ma démo.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
avatar
SXB> Je suis désolé mais tu devras refaire tes calculs :
$$1 + 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 = 1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801$$
donc $(11111)_7$ est un entier premier.

Quand à oumpapah, son exemple est
$$11\,111\,111\,111\,111\,111\,111\,111 = \dfrac{10^{23}-1}{9}$$
qui est lui aussi premier.

Ces deux entiers ne sont pas de la forme $6n + 1$.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Oui, c'est vrai. Je confonds tjs 3^5=243 et 7^3=343.

Il est donc clair que la conjecture est fausse.

Je vais rééxaminer le cas b=5 mod 6 et le cas b=4 mod 6 pour voir si on ne peut pas affirmer p²=1mod6.

Euh, par contre j'aimerais bien voir la démo du fait que le nombre

1+...+1022 est premier.

Voilà

j'ai écrit:

"Si b=4 mod 6 alors p=5 mod 6 ou 3 mod 6 selon resp que u est impair ou pair
mais bon si p=3 mod 6 p pas premier donc bye bye et si u=2m+1 impair alors forcément

p=1+4+...+42m+42m+1=(1+4m+1)(1+16+.....+42m) ou un truc dans ce genre avec confusion avant et après les 3 pts de suspension quand m=1, donc p non premier donc bye bye. "

Je dois revoir et infirmer: "Si b=4 mod 6 alors p=5 mod 6 ou 3 mod 6 selon resp que u est impair ou pair"

b=4 mod 6: (je sais bien que certains des nombres p obtenus ne seront pas premiers mais cela ne change pas le principe de la démo)

pour tout k b
1+17*4=69 =3 mod 6 donc déjà un contre exemple mais pas grave car si u impair p est non premier du fait de la factorisation de p ci dessus et que si p=3 mod 6 alors 3 divise p.
1+18*4=73 =1 mod 6 donc un contre exemple mais dans le sens de la démo.
1+19*4=77 =5 mod 6 donc contre exemple mais 19 impair donc p non premier donc rien à l'encontre de la démo
1+20*4=81 = 3 mod 6 donc pas de contradiction.
1+21*4=84 = 1 mod 6 donc contradiction mais pas à l'encontre de la démo.
1+22*4=89 = 5 mod 6 22 pair donc ici réside la contradiction avec la démo qui fausse la conjecture:

Voici, donc, le vrai résultat:

Tout nombre premier p vérifie exclusivement l'une des 3 props suivantes:

*p brésilien en base b, b=1 mod 3 et p=5 mod 6;
*p brésilien en base b, b=0 ou 2 mod 3 et p=1 mod 6
*p non brésilien.

Voilà, en espérant cette fois-ci n'avoir commis aucun erreur et donc avoir démontré définitivement cette vérité qui porte sur les nombres brésiliens.

PS: on peut ici vérifier que les deux exemples d'Oumpapah sont dans le premier cas. Dire qu'au début je voulais démontrer qu'elle était fausse et que j'ai changé d'avis...:)-D



Edité 9 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a douze années
Sinon, merci de m'avoir repris sur le contre-exemple du 32. Mais j'en ai un autre: 4 est non premier et non brésilien. HAHAHA lol.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 135 874, Messages: 1 312 011, Utilisateurs: 23 838.
Notre dernier utilisateur inscrit lepain.


Ce forum
Discussions: 5 019, Messages: 60 660.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page