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2007 est-il un nombre brésilien?

Envoyé par bs 
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 09:40
avatar
Re,

pour mettre à jour les récents résultats obtenus:

{\bf conjecture 4}: ref Sylvain :Il semblerait que les nombres premiers brésiliens soient de la forme $6n+1$, exemples: $7, 13, 31, 43, 73, 1093, 19531,...$.
Cette conjecture est fausse.

deux contre-exemples:

1):ce magnifique contre-exemple de gb exhibant le nombre premier
$$2801 = (11111)_7$$
qui n'est pas de la forme $6n+1$.

2) cet autre dû à Oumpapah:
$$11\,111\,111\,111\,111\,111\,111\,111 = \dfrac{10^{23}-1}{10-1}$$
qui est lui aussi premier brésilien en base 10, et n'est pas de la forme $6n+1$.

Remarque : il semble donc exister plus de nombres premiers brésiliens qui soient de la forme $6n+1$, plutôt que de la forme $6n+5$.

Bonne journée.
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 10:47
Bonjour,

pour me punir:

autre exemple de premier brésilien non multiple de 6 plus 1:


[10^(23)-1]/10

soit en base dix le "repunit" comprenant 23 fois le chiffre 1

Oump.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 11:00
avatar
Bonjour Oump,
le numérateur n'est pas divisible par 10 ?
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 11:22
Re
bien sur lire au denominateur 9 au lieu de 10
(la forme explicite du résultat le laissait deviner!)
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 11:33
avatar
Bien sûr , Oump : mais , ta remarque m' a donné une idée:

{\bf propriété 4}: (suite remarque d'Oumpapah):
On ne connait que six nombres premiers qui sont brésiliens en base 10.
Ce sont les rep-units suivants :
$R_{19}, R_{23}, R_{317}, R_{1031}, R_{49081}, R_{86453}$

\lien{[www.research.att.com]\~{}njas/sequences/?q=prime+repunits&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search}

[Lien corrigé. AD][merci AD]
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 12:08
gb écrivait:
> SXB écrivait:
> > Donc 32 est non brésilien.
> Je suis désolé, mais $(32)_{10} = (44)_7$

Très juste, j'étais fatigué, je ne sais pas pourquoi je me suis mis dans la tête que u (le plus grand exposant de b) ne pouvait être égal à 1. En tout cas c'est vrai pour les nombres premiers.

Par contre, je suis désolé, bs, mais il faut lire : c'est 2071 qui vaut 11111 en base 7 et pas 2801 !!!
Refaire le calcul pour s'en persuader.

Et je ne me suis pas embêté à faire une démo pour qu'on trouve des contre exemples qui en fait n'en sont pas. C'est pas parce que j'ai déclaré que 32 était non brésilien que celle-ci est fausse.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 22/01/2007 12:41 par AD.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 12:23
oumpapah Écrivait:
-------------------------------------------------------
> autre exemple de premier brésilien non multiple de 6 plus 1:
> [10^(23)-1]/10
> soit en base dix le "repunit" comprenant 23 fois le chiffre 1
> Oump.

Je suis désolé, mais ce nombre n'est pas premier car il n'est pas entier.
De plus 1023-1 vaut 9*(1+...+1022)
Et puis ce n'est pas parce que je ne sais pas utiliser Latex ou autre programme qui utiliserait le signe somme que mes sommes y sont incompréhensibles!

Pour ce qui est de (1023-1)/9, eh bien...

Ah en fait il pourrait y avoir une erreur dans ma démo.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 22/01/2007 12:52 par SXB.
gb
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 12:33
avatar
SXB> Je suis désolé mais tu devras refaire tes calculs :
$$1 + 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 = 1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801$$
donc $(11111)_7$ est un entier premier.

Quand à oumpapah, son exemple est
$$11\,111\,111\,111\,111\,111\,111\,111 = \dfrac{10^{23}-1}{9}$$
qui est lui aussi premier.

Ces deux entiers ne sont pas de la forme $6n + 1$.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 12:42
Oui, c'est vrai. Je confonds tjs 3^5=243 et 7^3=343.

Il est donc clair que la conjecture est fausse.

Je vais rééxaminer le cas b=5 mod 6 et le cas b=4 mod 6 pour voir si on ne peut pas affirmer p²=1mod6.

Euh, par contre j'aimerais bien voir la démo du fait que le nombre

1+...+1022 est premier.

Voilà

j'ai écrit:

"Si b=4 mod 6 alors p=5 mod 6 ou 3 mod 6 selon resp que u est impair ou pair
mais bon si p=3 mod 6 p pas premier donc bye bye et si u=2m+1 impair alors forcément

p=1+4+...+42m+42m+1=(1+4m+1)(1+16+.....+42m) ou un truc dans ce genre avec confusion avant et après les 3 pts de suspension quand m=1, donc p non premier donc bye bye. "

Je dois revoir et infirmer: "Si b=4 mod 6 alors p=5 mod 6 ou 3 mod 6 selon resp que u est impair ou pair"

b=4 mod 6: (je sais bien que certains des nombres p obtenus ne seront pas premiers mais cela ne change pas le principe de la démo)

pour tout k b
1+17*4=69 =3 mod 6 donc déjà un contre exemple mais pas grave car si u impair p est non premier du fait de la factorisation de p ci dessus et que si p=3 mod 6 alors 3 divise p.
1+18*4=73 =1 mod 6 donc un contre exemple mais dans le sens de la démo.
1+19*4=77 =5 mod 6 donc contre exemple mais 19 impair donc p non premier donc rien à l'encontre de la démo
1+20*4=81 = 3 mod 6 donc pas de contradiction.
1+21*4=84 = 1 mod 6 donc contradiction mais pas à l'encontre de la démo.
1+22*4=89 = 5 mod 6 22 pair donc ici réside la contradiction avec la démo qui fausse la conjecture:

Voici, donc, le vrai résultat:

Tout nombre premier p vérifie exclusivement l'une des 3 props suivantes:

*p brésilien en base b, b=1 mod 3 et p=5 mod 6;
*p brésilien en base b, b=0 ou 2 mod 3 et p=1 mod 6
*p non brésilien.

Voilà, en espérant cette fois-ci n'avoir commis aucun erreur et donc avoir démontré définitivement cette vérité qui porte sur les nombres brésiliens.

PS: on peut ici vérifier que les deux exemples d'Oumpapah sont dans le premier cas. Dire qu'au début je voulais démontrer qu'elle était fausse et que j'ai changé d'avis...:)-D



Modifié 9 fois. Dernière modification le 22/01/2007 13:26 par SXB.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 13:53
Sinon, merci de m'avoir repris sur le contre-exemple du 32. Mais j'en ai un autre: 4 est non premier et non brésilien. HAHAHA lol.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 16:58
avatar
Retour VTT

Théorème 0. Tout nombre $\geq 22$, dont la représentation en base $10$ s'écrit avec des chiffres tous égaux est brésilien.
preuve : clair, suite à la définition car égal à $(aaaa...aa)_{10}$.
Propriété 5. Recherche des cinq plus petits nombres brésiliens.
Réf : message de bisam du 20/01/2007 à 23h54.
$7=(111)_2, 8=(22)_3, 10=(22)_4, 12=(22)_5, 13=(111)_3$.

Amicalement.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/05/2020 19:44 par AD.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 17:03
bs écrivait:
[www.les-mathematiques.net]

Je n'ai rien compris ! Désolé
Bon maintenant que c'est modifié j'ai tout compris.
Euh, maintenant je ne comprends plus par contre.


[SXB : il n'est pas nécessaire de reproduire in extenso le message qui précède ! AD]



Modifié 3 fois. Dernière modification le 22/01/2007 23:03 par AD.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 17:41
avatar
Suite:

{\bf théorème 4}:Tout nombre du type $p^2$, avec $p$ premier , s'il est brésilien, s'écrit nécessairement sous la forme :$p^2=(11...111)_b$ avec $b \mid p^2-1$, $b \neq 1, b\neq p^2-1$.

Preuve: $n=p^2=a(1+b+...b^q)$ ==> $a = 1, p, p^2$
mais $a<b<p^2$, donc $a=1$ ou $a=p$.
Si $a=p$, on obtient : $a=p<b \leq b-1$; pas possible ,donc,
reste seule la possibilité énoncée dans le théorème 4.


{\bf théorème 5}: Le seul nombre inférieur à $10^8$, du type $p^2$, avec $p$ premier qui est brésilien est $$121 = 11^2 = (11111)_3$$

Référence : article de Yann Bugeaud, Université de Strasbourg, Pour La Science, mai 1999; rep-units $x^t$ avec $x<10 000$;
Question: l'un d'entre vous possède-t-il l'article ?
Merci
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 18:08
avatar
J'avais un théorème... et puis j'ai relu tous les messages et je me suis aperçu que bs l'avait déjà énoncé en propriété 2 !
J'arrive donc 2 jours après la bataille !
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
22 janvier 2007, 18:57
bonsoir,

voila un premier brésilien rigolo

celui qui s'ecrit avec 19 chiffres 1 en base 19


( c'est donc (19^19 -1)/18)

d'ou une question : étudier les premiers p tels que (p^p -1)/(p-1) soit premier.

rem: comme c'est un jeu d'enfant de tester avec maple,(dont je découvre la puissance de calcul) on peut s'amuser avec de nombreux essais..on doit se lasser vite.

pour gilles : en testant les (4^q -1)/3 avec q premier, mon pc +maple
me donne des factorisations pour q<=103
et avec q=107 on atteint les limites de mon ordi..

Oump.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
23 janvier 2007, 05:49
avatar
Bonjour,

{\bf propriété 6}:les nombres premiers brésiliens rigolos d'Oumpapah.

Définition: ce sont les nombres premiers brésiliens qui s'écrivent avec b fois le chiffre 1 en base b; notation: $\overline{b}$
$$p= \overline{b}= (111..11)_b= \dfrac{b^b-1}{b-1}$$

Les deux plus petits sont :
$\overline{3}= (111)_3= 31$, et
$\overline{19}=(1111111111111111111)_{19}=\dfrac{19^{19}-1}{19-1}= 109.912.203.092.239.643.840.221$

Bonne journée.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
23 janvier 2007, 19:30
avatar
bonsoir, dois-je comprendre qu'il n'existe que 6 repunits premiers connus à ce jour (en base 10 évidemment), le plus grand étant:

$$\sum_{n=0}^{86452} 10^k$$.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
23 janvier 2007, 20:27
avatar
Bonsoir,
Non, car il y a 11 en plus; mais 11 n'est pas brésilien...
Donc au total , il y en a 7 connus à ce jour.
le lien que j' ai indiqué suite à la propriété 4 ne fonctionne pas, alors que c'est la bonne référence.

Essaie ici:c'est le même site, mais il faudra taper: 11,19,23, 317,
\lien{[www.research.att.com]\~{}njas/sequences/index.html}

J'espère que ça fonctionnera cette fois.

[Pour que le \~{} ne disparaisse pas il faut écrire (dans le lien LaTeX) \verb*=\~{}= (j'entends RAJ se gausser) :) AD]

[Compris, je note cette subtibilité; merci Alain ]
[je me mets à parler comme Royal ! voulais dire subtilité ]
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
24 janvier 2007, 13:52
avatar
Ok le lien fonctionne maintenant, ceci dit c'est surement l'espoir de tout mathématicien de de hausser au niveau de Gauss.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
24 janvier 2007, 19:07
avatar
O RAJ, ô désespoir, ô LaTeX ennemi !:)
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
19 octobre 2008, 15:59
avatar
Bonjour,

Une petite propriété qui a l'air de vous avoir échappé :

{\em Tout entier non nul est différence de deux nombres brésiliens.}

En effet, si $n$ impair est non nul alors $n+7$ est un nombre pair supérieur ou égal à $8$, donc il est brésilien (Théorème 1). Ainsi $n = (n+7) - 7$ est différence de deux brésiliens. Soit maintenant $n$ pair non nul. Alors $n+8$ est brésilien toujours par le Théorème 1, donc $n = (n+8) - 8$ est différence de deux brésiliens.

Question 1 : peut-on imposer de plus que la fréquence d'apparition d'un nombre donné (par exemple $7$) dans les écritures en différence de deux brésiliens des entiers successifs soit nulle ?

D'autre part les théorèmes 1 et 2 peuvent se reformuler ainsi :

{\bf Théorème 1} : Tout entier de la forme $2k+8$ pour $k \geq 0$ est brésilien.

{\bf Théorème 2} : Tout entier de la forme $ak+a^2+2a$ avec $a \geq 2$ est brésilien pour $k \geq 0$.

D'où la...

Question 2 : peut-on trouver une progression arithmétique $a k +b$ avec $(a,b)=1$ qui contienne une infinité de brésiliens ? [On a vu ci-dessus que si $a=6$ et $b=1$ ça ne marchait pas...]

Cordialement,
Jean-Yves Degos.
Les nombres brésiliens dans Quadrature
04 avril 2010, 08:00
avatar
Bonjour,

Un très bon article sur ce sujet dans le numéro 76 de la revue Quadrature.

Il est signé B.S. et contient l'historique, les preuves, les références, et tout et tout.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
04 avril 2010, 19:23
avatar
Bonsoir,

Cidrolin, merci pour le "très bon article" :)

Voici une histoire vraie:

Acte 1: avril-mai (?) 2007

-> Scène 1: j'emprunte le Hypermaths de Pierre Bornsztein à la BU de Saint-Jérôme à Marseille.
-> Scène 2: chez ma ravissante coiffeuse, toujours en retard, je fais quelques exercices d'arithmétiques en attendant mon tour, et découvre celui intitulé "Nombres brésiliens" qui me séduit particulièrement.
-> Scène 3: de retour à la maison, quelques recherches de propriétés avec papier-crayon, puis surf sur la toile pour vérifier si ces nombres ont pignon sur rue.
-> Scène 4: décision prise: ouverture d'un fil sur le sujet pour faire partager mon enthousiasme; de nombreuses interventions ...de qualité affluent.
-> Scène 5: peut-être un mois plus tard, alors que le fil s'essouffle,egoroffski, alors egoroff m'écrit sur un autre fil quelque chose comme : "Sympa tes nombres brésiliens, pourquoi n'écris-tu pas un pdf sur ces nombres ?"
-> Scène 6: sur un 21x27, obéissant à egoroff, je rédige avec un stylo le début d'un texte structuré sur ces nombres brésiliens.

Entracte.

Amicalement.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 05/04/2010 09:07 par bs.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
05 avril 2010, 18:18
avatar
Bonjour,

je voulais juste dire que j'achète quadrature par habitude, et je trouve que cela devient mortel chiant.
Heureusement je découvre encore des numéros de La Recherche ou des livres de JP Delahaye qui me font siffler dans le train quand je reviens de Paris en si bémol la sortie.

S
Utilisateur anonyme
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
05 avril 2010, 20:04
Bonjour Samok,
ton avis m'intéresse au plus haut point.
Pourrais tu argumenter?
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
06 avril 2010, 21:32
avatar
Bonsoir Roger,

j'étais de super mauvaise humeur en écrivant cela.

Tant que Jean Moreau de St Martin répondra aux problèmes, je lirai cette revue.

S
Utilisateur anonyme
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
06 avril 2010, 22:43
En fait, ce qui m'intéresse, c'est de savoir pourquoi tu n'aimes pas les articles de Quadrature alors que tu sembles apprécier la "vulgarisation" mathématique.

Le choix de Quadrature est de faire des maths et pas simplement d'évoquer vaguement les choses.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
07 avril 2010, 21:30
J'ai acheté quadrature ce soir (chez Gibert). Félicitations bs! Tu fais preuve d'une grande érudition et d'un esprit créatif. Je suis trop faible en théorie des nombres pour en dire plus, sauf que tu me sembles appartenir au courant des maths à la "Erdos".
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
08 avril 2010, 08:13
avatar
Bonjour,

La suite... Acte ll,

Scène 1: en juillet 2008 , Quadrature écrit le message suivant sur notre forum.
Scène 2: au cours d'un échange de mails privés, Olivier me conseille pourquoi-pas de proposer un texte à Quadrature...
Scène 3: après quelques jours de réflexion, je déterre mon manuscrit sur les nombres brésiliens pour le restructurer.
Scène 4: Bernadette m'apprend le fonctionnement de Word, ce qui me permet d'envoyer un premier document-pdf à Quadrature en septembre 2008.
Scène 5: un copain professeur à l'École de l'Air vient m'installer Winedt et MikTex puis me donne un cours sur LaTex, réécriture et enrichissement du document.
Scène 6: plusieurs aller-retours du texte avec Quadrature; à noter dans cette phase l'aide primordiale de:
-> Olivier pour la finalisation de la démonstration de deux théorèmes et la présentation générale du tex, et de
-> Guego qui a écrit une dizaine de procédures Maple me permettant de vérifier ou d'infirmer quelques propriétés sur ces nombres brésiliens, certaines deviendront théorèmes, d'autres resteront conjectures.
Scène 7: le texte est accepté par le patient rapporteur de Quadrature (Pâques 2009), il m'est demandé de supprimer quelques paragraphes de mon choix, le texte étant jugé trop long.
Scène 8: relecture du pdf par mes amis Aleg, gb, Greg, Norbert et Olivier que je remercie sincèrement, sans oublier Guego.
Scène 9: envoi vers mai 2009 de la version quasi définitive de l'article à Quadrature.

Merci olib pour ton message, la comparaison avec "le courant des maths à la Erdös" me parait un peu osée ;)

Amicalement.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 08/04/2010 08:33 par bs.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
08 avril 2010, 12:46
Ce n'est pas une comparaison, c'est juste l'appartenance à un certain courant des mathématiques, celui de Erd&#337;s, l'homme qui n'aimait que les nombres:)
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
08 avril 2010, 19:32
La publication d'un de ses travaux dans une revue comme Quadrature est un moment important dans la vie d'un mathématicien.

Félicitations, donc, à Bernard pour sa pugnacité et son travail original sur ces nombres.


Borde.
Re: Les nombres brésiliens dans Quadrature
10 mai 2020, 17:56
avatar
Dans cet article on réfute une conjecture de Bernard Schott selon laquelle aucun nombre premier brésilien n'est un nombre premier de Sophie Germain : [math.colgate.edu]
Re: Les nombres brésiliens dans Quadrature
10 mai 2020, 18:35
Bonjour,

Et a-t-on eu la réponse à la question de ev ?
Existe-t-il un cube qui soit un nombre de Poulet ?

Cordialement,

Rescassol
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