2007 est-il un nombre brésilien?

Suite:

{\bf théorème 4}:Tout nombre du type $p^2$, avec $p$ premier , s'il est brésilien, s'écrit nécessairement sous la forme :$p^2=(11...111)_b$ avec $b \mid p^2-1$, $b \neq 1, b\neq p^2-1$.

Preuve: $n=p^2=a(1+b+...b^q)$ ==> $a = 1, p, p^2$
mais $a<b<p^2$, donc $a=1$ ou $a=p$.
Si $a=p$, on obtient : $a=p<b \leq b-1$; pas possible ,donc,
reste seule la possibilité énoncée dans le théorème 4.


{\bf théorème 5}: Le seul nombre inférieur à $10^8$, du type $p^2$, avec $p$ premier qui est brésilien est $$121 = 11^2 = (11111)_3$$

Référence : article de Yann Bugeaud, Université de Strasbourg, Pour La Science, mai 1999; rep-units $x^t$ avec $x<10 000$;
Question: l'un d'entre vous possède-t-il l'article ?
Merci

Bonsoir,

Cidrolin, merci pour le "très bon article"

Voici une histoire vraie:

Acte 1: avril-mai (?) 2007

-> Scène 1: j'emprunte le Hypermaths de Pierre Bornsztein à la BU de Saint-Jérôme à Marseille.
-> Scène 2: chez ma ravissante coiffeuse, toujours en retard, je fais quelques exercices d'arithmétiques en attendant mon tour, et découvre celui intitulé "Nombres brésiliens" qui me séduit particulièrement.
-> Scène 3: de retour à la maison, quelques recherches de propriétés avec papier-crayon, puis surf sur la toile pour vérifier si ces nombres ont pignon sur rue.
-> Scène 4: décision prise: ouverture d'un fil sur le sujet pour faire partager mon enthousiasme; de nombreuses interventions ...de qualité affluent.
-> Scène 5: peut-être un mois plus tard, alors que le fil s'essouffle,egoroffski, alors egoroff m'écrit sur un autre fil quelque chose comme : "Sympa tes nombres brésiliens, pourquoi n'écris-tu pas un pdf sur ces nombres ?"
-> Scène 6: sur un 21x27, obéissant à egoroff, je rédige avec un stylo le début d'un texte structuré sur ces nombres brésiliens.

Entracte.

Amicalement.

Bonjour,

La suite... Acte ll,

Scène 1: en juillet 2008 , Quadrature écrit le message suivant sur notre forum.
Scène 2: au cours d'un échange de mails privés, Olivier me conseille pourquoi-pas de proposer un texte à Quadrature...
Scène 3: après quelques jours de réflexion, je déterre mon manuscrit sur les nombres brésiliens pour le restructurer.
Scène 4: Bernadette m'apprend le fonctionnement de Word, ce qui me permet d'envoyer un premier document-pdf à Quadrature en septembre 2008.
Scène 5: un copain professeur à l'École de l'Air vient m'installer Winedt et MikTex puis me donne un cours sur LaTex, réécriture et enrichissement du document.
Scène 6: plusieurs aller-retours du texte avec Quadrature; à noter dans cette phase l'aide primordiale de:
-> Olivier pour la finalisation de la démonstration de deux théorèmes et la présentation générale du tex, et de
-> Guego qui a écrit une dizaine de procédures Maple me permettant de vérifier ou d'infirmer quelques propriétés sur ces nombres brésiliens, certaines deviendront théorèmes, d'autres resteront conjectures.
Scène 7: le texte est accepté par le patient rapporteur de Quadrature (Pâques 2009), il m'est demandé de supprimer quelques paragraphes de mon choix, le texte étant jugé trop long.
Scène 8: relecture du pdf par mes amis Aleg, gb, Greg, Norbert et Olivier que je remercie sincèrement, sans oublier Guego.
Scène 9: envoi vers mai 2009 de la version quasi définitive de l'article à Quadrature.

Merci olib pour ton message, la comparaison avec "le courant des maths à la Erdös" me parait un peu osée

Amicalement.