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2007 est-il un nombre brésilien?
Bonjour, Ref : Hypermath de P. Bornsztein + Kalva ( cf: lien) A la suite de l'Olympiade ibéroaméricaine de 1994,le terme de "nombre brésilien" est passé à la postérité ! Définition: un entier  est dit brésilien lorsqu'il peut s'écrire dans une base  ,telle que  ,avec des chiffres tous égaux. Remarque : si on autorise  , c'est trop facile. Question en 1994: montrer que 1994 est brésilien, mais que 1993 ne l'est pas. www.kalva.demon.co.uk]"> [ www.kalva.demon.co.uk] Question Phorum5: montrer que 2007 est deux fois brésilien.( c'est ce que j'ai trouvé ) question ouverte : peut-on caractériser les nombres deux fois brésiliens ? Comment indiquer le thème Arithmétique ? Merci. Mathématiquement vôtre. Code LaTeX
Bonjour,
Ref : Hypermath de P. Bornsztein + Kalva ( cf: lien)
A la suite de l'Olympiade ibéroaméricaine de 1994,le terme de "nombre brésilien" est passé à la postérité !
{\bf Définition}: un entier $n$ est dit brésilien lorsqu'il peut s'écrire dans une base $b$,telle que $1<b<n-1$,avec des chiffres tous égaux.
Remarque : si on autorise $b=n-1$, c'est trop facile.
Question en 1994: montrer que 1994 est brésilien, mais que 1993 ne l'est pas.
\lien{[ www.kalva.demon.co.uk]}
Question Phorum5: montrer que 2007 est deux fois brésilien.( c'est ce que j'ai trouvé )
question ouverte : peut-on caractériser les nombres deux fois brésiliens ?
Comment indiquer le thème Arithmétique ? Merci.
Mathématiquement vôtre.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par bs.
Modifié 2 fois. Dernière modification le 22/01/2007 par bs.
Bonsoir,
Autres questions ouvertes:
On a : 1993 premier ===> 1993 non brésilien.
Peut-on généraliser : p premier ===> p non brésilien ? (1)
et réciproque si (1) est vrai, a-t-on : p non brésilien ===> p premier ? (2)
bs
Introduisons une notation : j'appelle a le "chiffre" répété.
Tout d'abord, 2007=3²x223. donc les chiffres a sont dans l'ensemble {1,3,9,223,669}.
Il est clair que les chiffres a=223 et a=669 ne conviennent pas car il faudrait une base b supérieure et on ne pourrait pas obtenir n=2007.
Restent donc a=1, 3 ou 9.
Si a=1, alors 2007=1 . Or 2006=2x17x59 donc b doit être dans l'ensemble {2,17,34,59,118,1003}.
On vérifie aisément que b=17, 34, 59, 118 ou 1003 ne conviennent pas en calculant les premières puissances de ces nombres.
De plus 2007+1 n'est pas une puissance de 2 donc b=2 ne convient pas non plus.
Finalement a n'est pas égal à 1.
Si a=3, alors 669=1. Or 668=2²x167 donc b doit être dans l'ensemble {2,4,167,334,668}. Encore une fois, b=167, 334 ou 668 ne conviennent pas en calculant leur carré.
Si 669 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 4 alors 669x(4-1)+1=2008 serait une puissance de 4, ce qui n'est pas le cas.
669+1 n'est pas non plus une puissance de 2 donc 669 ne s'écrit pas uniquement avec des 1 en base 2.
Donc a=3 ne convient pas non plus.
Il ne reste que a=9. Alors 223=1. Or 222=2x3x37 donc b est dans l'ensemble {2,3,6,37,74,111,222}. Mais seuls 2, 3 et 6 ne dépassent pas 223 lorsqu'on les élève au carré donc ce sont les seuls qui peuvent encore convenir.
Si 223 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 6 alors 223x(6-1)+1=1116 serait une puissance de 6, ce qui n'est pas le cas.
Si 223 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 3 alors 223x(3-1)+1=447 serait une puissance de 3, ce qui n'est pas le cas.
Si 669 s'écrivait uniquement avec des 1 en base 2 alors 223x(2-1)+1=224 serait une puissance de 2, ce qui n'est pas le cas.
Donc a=9 est également écarté.
Finalement, je ne trouve aucune solution !!
Bonsoir bisam,
je trouve aussi comme valeurs possibles de a : 1,3 ou 9.
d'accord a=1 ne convient pas.
si a=3, refais le calcul avec 668.
si a=9, l'un des b correspondant à l'ensemble que tu as déterminé convient aussi.
Tout au moins,j'espère fortement ne pas m'être trompé, mais tu me fais douter...
Amicalement.
Bonsoir
je suis d'accord avec bisam !( au fait et mon systeme?, il vaut le détour à mon avis , et ne merite pas les oubliettes 
Oump.
Pour ce qui est de la 2ème conjecture (p premier => p non brésilien) ... je crains fort que les nombres de Mersenne premiers (par exemple : 7=1+2+4 ou 31=1+2+4+8+16) contredisent le résultat.
Pour ce qui est de 668, admettons que j'ai été un peu trop vite : on a bien 2007=668*3+3 et de même, 222*9+9=2007 donc on a bien 2 solutions.
Ca m'apprendra à vouloir tout faire sans papier !
PS : Ce n'est pas souvent qu'on pourra le dire... mais même Oumpapah s'est fait avoir !
Bonsoir,
Les amis de Provence viennent de partir, je viens rejoindre ceux du phorum...
Ouh la la : bisam + oumpapah ! c'est du très joli monde.
Merci bisam pour les nombres de Mersenne premiers, joli contre-exemple.
De quel système parles-tu, oumpapah ? merci.
[ [ www.les-mathematiques.net] . AD]
Au dodo.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Bonjour Quelques résultats sur ces nombres brésiliens suite à mes réflexitudes Propriété 1: Il existe --> des nombres non brésiliens (exemple:  ) ;ref:Hypermath (a35) --> des nombres 1-brésiliens (exemple:  ;ref:Hypermath (a35) --> des nombres 2-brésiliens (exemple :  ;ref: bs validée par bisam. Théorème 1 : Tout nombre pair, supérieur ou égal à 8, est brésilien: donc pour  (ref : kalva) Théorème 2 : plus généralement, Tout nombre  ,avec  , est brésilien: (ref: bs), car alors: A suivre. Code LaTeX
Bonjour
Quelques résultats sur ces nombres brésiliens suite à mes réflexitudes
{\bf Propriété 1}:
Il existe
---> des nombres non brésiliens (exemple: $1993$) ;ref:Hypermath (a35)
---> des nombres 1-brésiliens (exemple: $1994 =(22)_{996}$ ;ref:Hypermath (a35)
---> des nombres 2-brésiliens (exemple :$2007=(33)_{668}= (99)_{222}$ ;ref: bs validée par bisam.
{\bf Théorème 1} : Tout nombre pair, supérieur ou égal à 8, est brésilien: donc pour $k>3$ (ref : kalva)
$$n=2k=(22)_{k-1}$$
{\bf Théorème 2} : plus généralement,
Tout nombre $n=ak$ ,avec $2 \leq a \leq k-2$, est brésilien: (ref: bs), car alors:
$$n=ak=(aa)_{k-1}$$
A suivre.
Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par bs.
Modifié 5 fois. Dernière modification le 22/01/2007 par bs.
Re, Comme 1993 est premier et non brésilien, il est légitime de se demander s'il existe une relation entre premier et non brésilien. Conjecture 1 : "tout nombre premier est non brésilien" est faux. contre-exemple de bisam: tout nombre de Mersenne premier  ,pour  , est brésilien. avec  fois  dans l'écriture en base  . Conjecture 2 : "tout nombre non brésilien est premier" est faux. Contre-exemple : 9. Mais , suite au théorème 2, ces contre-exemples demeurent rares: peut-être uniquement les  avec  premier.[ A vérifier] Question: quel est le plus petit nombre brésilien? [pour vérifier si mon résultat est juste] Merci. Code LaTeX
Re,
Comme 1993 est premier et non brésilien, il est légitime de se demander s'il existe une relation entre premier et non brésilien.
{\bf Conjecture 1} : "tout nombre premier est non brésilien" est faux.
contre-exemple de bisam: tout nombre de Mersenne premier$M_n$,pour$n>2$, est brésilien.
$$M_n=2^n-1=(1111..111)_2$$avec $n$ fois $1$ dans l'écriture en base $2$.
{\bf Conjecture 2} : "tout nombre non brésilien est premier" est faux.
Contre-exemple : 9.
Mais , suite au théorème 2, ces contre-exemples demeurent rares: peut-être uniquement les $p^2$ avec $p$ premier.[ A vérifier]
Question: quel est le plus petit nombre brésilien? [pour vérifier si mon résultat est juste]
Merci.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par bs.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/01/2007 par bs.
Bonjour,
très intéressant ces nombres brésiliens.
J'ai trouvé que 2007 était aussi un nombre brésilien travesti !
Il s'écrit 1UN dans base 32.
Cordialement
TV
Le plus petit nombre brésilien ?
Il est au moins égal à 4 car n-1>b>1 donc b>=2 et n>=b+2.
4 ne convient pas en base 2 et n'est pas accepté comme brésilien en base 3 (car n-1=b).
5 ne convient ni en base 2 ni en base 3 et n'est pas accepté comme brésilien en base 4 (car n-1=b).
6 ne convient pas en base 2, 3, 4 et n'est pas accepté comme brésilien en base 5 (car n-1=b).
7=1+2+4 est brésilien en base 2 et est donc le plus petit nombre brésilien.
8=2+2*3 est également brésilien en base 3.
Pour bs ( et autres amateurs:Olivier,Domi,Galax,GG,gb,Bisam and so on)
je rappelle le système à resoudre et discuter(dans R)
inconnues x,y,z
données u,v,w >0
x²+xy+y²=u²
y²+yz+z²=v²
z²+zx+x²=w²
question supplémentaire : on suppose u, v, w entiers
peut on avoir x,y,z entiers?
( par exemple avec u=511, v=455, w=399
on a comme solution en nbs positifs
x=195, y=264, z=325
géométriquement: soit T le point de torricelli du triangle ABC tel que
AB=w, BC=u, CA=v
alors AT=x, BT=y, CT=z;
vous voyez alors d'ou provient lidée du système initial proposé.
(ce système initial a des solutions ssi u,v,w sont les cotés d'un triangle
et on a alors deux solutions essentielles ( en imposant x>=0) )
Autre pb soumis à votre réflexion ( niveau lycée ou L1)
on appelle triangle pseudo-rectangle ( ou hyperbolique?)un triangle dont deux des angles diffèrent de Pi/2
explication du nom: si on appelle H l'hyperbole équilatere d'equation
X²-Y²=a²
de sommets S' et S , alors si M est un point de H , le triangle S'SM est pseudo rectangle.(propriété bien connue)
expliciter un polynome homogène du 4eme degré f(x,y,z) tel que
f(x,y,z)=0
caractérise les triangles (x,y,z) hyperboliques.
enfin resoudre l'équation diophantienne f(x,y,z)=0
( par ex solution AB=20 AC=15 BC=7
on a cos(B)=4/5 et cos(C)=-3/5
il y a un bon theme pour les terminales maths spe..(n'est ce pas olivier?)
enfin pour terminer:(facile , niveau lycée)
en appelant triangle indien (pourquoi pas ?),un triangle dont un des angles vaut 2Pi/3), résoudre l'équation diophantienne les caractérisant à cotés entiers
i.e. résoudre en entiers : x²+xy+y²=z² (xyz#0)
plus petite solution: (3,5,7)
en prenant trois triangles (3,5,7) et les triangles (3,3,3), (5,5,5), (7,7,7)
assembler les pour faire un magnifique parallelogramme qui merite un dessin
( si une bonne ame pouvait expliquer comment les réaliser ici, je me sentirais moins bete !)
Oump.
[J'ai déplacé ce message dans le fil correspondant. Prière d'y continuer la discussion sur ce sujet. AD]
[ www.les-mathematiques.net]
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Salut Claude,
Le thème des pseudo-triangles entiers est effectivement bon, mais je le crois plutôt d'un niveau plus élevé que ce que l'on fait en TS, même spécialité. Il me semble l'avoir vu un jour comme énoncé d'un concours général. Mais il faudrait y réfléchir, pour adapter cette idée.
Au fait : bonne année !
Borde.
Bonjour, Au sujet des nombres brésiliens: 1) OK et merci bisam: la suite des nombres brésiliens est donc: or quand je tape cette liste dans l'encyclopédie des suites: www.research.att.com]"> [ www.research.att.com] celle-ci n'apparaît pas. 2)J'ai donc envoyé un message à NJA Sloane pour lui faire part de cet oubli, en indiquant les références de L'Olympiade ibéroaméricaine,de Hypermath de Pierre Bornsztein (exercice a35) ,du Phorum5 et de bisam. Je vous tiendrai au courant. Bisam: je t'envoie copie du message. 3)Quelques nouvelles propriétés: Propriété 2: En dehors de 1 et 6, tout nombre non brésilien est soit premier, soit le carré d'un premier.(Preuve par le théorème 2) Propriété 3: Il existe des nombres premiers brésiliens et des nombres premiers non brésiliens. Entre 1 et 50 :  ne sont pas brésiliens,mais,  le sont. théorème 3: [Réf: message gb du 21/01/07 à 18h19] Si  premier est brésilien, il s'écrit  avec  premier impair. L'écriture de en base  comprend alors fois le chiffre 1. Question: est-il possible de caractériser ces nombres premiers brésiliens ? Conjecture 3: tout nombre  avec premier n'est pas brésilien. (Pourquoi Sylvain serait-il le seul à émettre des conjectures?  Remarque : c'est le cas de  ... Merci. Code LaTeX
Bonjour,
Au sujet des nombres brésiliens:
1) OK et merci bisam: la suite des nombres brésiliens est donc:$$7,8,10,12,13,14,15,....$$or quand je tape cette liste dans l'encyclopédie des suites:
\lien{[ www.research.att.com]}
celle-ci n'apparaît pas.
2)J'ai donc envoyé un message à NJA Sloane pour lui faire part de cet oubli, en indiquant les références de L'Olympiade ibéroaméricaine,de Hypermath de Pierre Bornsztein (exercice a35) ,du Phorum5 et de bisam. Je vous tiendrai au courant.
Bisam: je t'envoie copie du message.
3)Quelques nouvelles propriétés:
{\bf Propriété 2}: En dehors de 1 et 6, tout nombre non brésilien est soit premier, soit le carré d'un premier.(Preuve par le théorème 2)
{\bf Propriété 3}: Il existe des nombres premiers brésiliens et des nombres premiers non brésiliens.
Entre 1 et 50 :$2,3,5,11,17,19,23,29,37,41,47$ ne sont pas brésiliens,mais,
$7=M_3=(111)_2, 13=(111)_3, 31=M_5=(11111)_2=(111)_5, 43=(111)_6$ le sont.
{\bf théorème 3}: [Réf: message gb du 21/01/07 à 18h19]
Si $p$ premier est brésilien, il s'écrit $p = 1 + b + \cdots + b^{q-1}= (111..11)_b$ avec $q$ premier impair. L'écriture de $p$ en base $b$ comprend alors $q$ fois le chiffre 1.
Question: est-il possible de caractériser ces nombres premiers brésiliens ?
{\bf Conjecture 3}: tout nombre $p^2$ avec $p$ premier n'est pas brésilien.
(Pourquoi Sylvain serait-il le seul à émettre des conjectures?
Remarque : c'est le cas de $2^2,3^2,;5^2,7^2$...
Merci.
Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par bs.
Modifié 8 fois. Dernière modification le 23/01/2007 par bs.
Waouhhhhh,
NJA Sloane a répondu qu'il acceptait cette suite de nombres brésiliens qui sera référencée: A125134.
Alain, pour quelle raison le lien ne fonctionne-t-il pas?
[ www.research.att.com] [Voilà le lien AD]
Peut-être ce serait donc bien de progresser sur les questions en cours + celles que vous trouverez ?
Amicalement.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Il semblerait que les premiers brésiliens soient de la forme  :  Code LaTeX
Il semblerait que les premiers brésiliens soient de la forme $6n+1$:
$7=6.1+1,13=6.2+1,31=6.5+1,43=6.7+1$
je n'avais pas remarqué: merci Sylvain; vais essayer de creuser cela.
Si l'un d'entre-vous, je pense à ceux qui écrivent dans les mêmes revues que P.Bornsztein, peut prévenir Pierre, ce serait sympathique.
Merci.
Si  est premier et que , ou  s'écrit  avec  chiffres, alors est premier, et il me semble que  . Code LaTeX
Si $p$ est premier et que $p$, ou $p^2$ s'écrit $(11..11)_b$ avec $n$ chiffres, alors $n$ est premier, et il me semble que $p \equiv 1 \pmod{n}$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par gb.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/01/2007 par gb.
Je trouve que  est brésilien. Or  . Il semblerait (mais c'est à prendre avec précaution), que les  tels que  soit brésilien soient les termes de la suite  avec  . Code LaTeX
Je trouve que $73=1.8^2+1.8+1$ est brésilien.
Or $73=6.12+1$.
Il semblerait (mais c'est à prendre avec précaution), que les $n$ tels que $p=6n+1$ soit brésilien soient les termes de la suite $u_k=\frac{p_{k}^2-1}{24}$ avec $k>2$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Sylvain.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/01/2007 par Sylvain.
Les brésiliens premiers suivants confirment-ils ton hypothèses ?        Code LaTeX
Les brésiliens premiers suivants confirment-ils ton hypothèses ?
$1\,093 = \dfrac{3^{7}-1}{2}$
$797\,161 = \dfrac{3^{13}-1}{2}$
$3\,754\,733\,257\,489\,862\,401\,973\,357\,979\,128\,773 = \dfrac{3^{71}-1}{2}$
$19\,531 = \dfrac{5^{7}-1}{4}$
$12\,207\,031 = \dfrac{5^{11}-1}{4}$
$305\,175\,781 = \dfrac{5^{13}-1}{4}$
$177\,635\,683\,940\,025\,046\,467\,781\,066\,894\,531 = \dfrac{5^{47}-1}{4}$
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