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2007 est-il un nombre brésilien?

Envoyé par bs 
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
Retour VTT,

{\bf théorème 0}: Tout nombre $\geq 22$, dont la représentation en base $10$ s'écrit avec des chiffres tous égaux est brésilien.
preuve : clair, suite à la définition car égal à $(aaaa...aa)_{10}$.

{\bf propriété 5} : recherche des cinq plus petits nombres brésiliens.
Réf : message de bisam du 20/01/2007 à 23h54.
$7=(111)_2, 8=(22)_3, 10=(22)_4, 12=(22)_5, 13=(111)_3$.

Amicalement.
SXB
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
bs écrivait:
[www.les-mathematiques.net]

Je n'ai rien compris ! Désolé
Bon maintenant que c'est modifié j'ai tout compris.
Euh, maintenant je ne comprends plus par contre.


[SXB : il n'est pas nécessaire de reproduire in extenso le message qui précède ! AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par AD.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
Suite:

{\bf théorème 4}:Tout nombre du type $p^2$, avec $p$ premier , s'il est brésilien, s'écrit nécessairement sous la forme :$p^2=(11...111)_b$ avec $b \mid p^2-1$, $b \neq 1, b\neq p^2-1$.

Preuve: $n=p^2=a(1+b+...b^q)$ ==> $a = 1, p, p^2$
mais $a<b<p^2$, donc $a=1$ ou $a=p$.
Si $a=p$, on obtient : $a=p<b \leq b-1$; pas possible ,donc,
reste seule la possibilité énoncée dans le théorème 4.


{\bf théorème 5}: Le seul nombre inférieur à $10^8$, du type $p^2$, avec $p$ premier qui est brésilien est $$121 = 11^2 = (11111)_3$$

Référence : article de Yann Bugeaud, Université de Strasbourg, Pour La Science, mai 1999; rep-units $x^t$ avec $x<10 000$;
Question: l'un d'entre vous possède-t-il l'article ?
Merci
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
J'avais un théorème... et puis j'ai relu tous les messages et je me suis aperçu que bs l'avait déjà énoncé en propriété 2 !
J'arrive donc 2 jours après la bataille !
oumpapah
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
bonsoir,

voila un premier brésilien rigolo

celui qui s'ecrit avec 19 chiffres 1 en base 19


( c'est donc (19^19 -1)/18)

d'ou une question : étudier les premiers p tels que (p^p -1)/(p-1) soit premier.

rem: comme c'est un jeu d'enfant de tester avec maple,(dont je découvre la puissance de calcul) on peut s'amuser avec de nombreux essais..on doit se lasser vite.

pour gilles : en testant les (4^q -1)/3 avec q premier, mon pc +maple
me donne des factorisations pour q<=103
et avec q=107 on atteint les limites de mon ordi..

Oump.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
Bonjour,

{\bf propriété 6}:les nombres premiers brésiliens rigolos d'Oumpapah.

Définition: ce sont les nombres premiers brésiliens qui s'écrivent avec b fois le chiffre 1 en base b; notation: $\overline{b}$
$$p= \overline{b}= (111..11)_b= \dfrac{b^b-1}{b-1}$$

Les deux plus petits sont :
$\overline{3}= (111)_3= 31$, et
$\overline{19}=(1111111111111111111)_{19}=\dfrac{19^{19}-1}{19-1}= 109.912.203.092.239.643.840.221$

Bonne journée.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
bonsoir, dois-je comprendre qu'il n'existe que 6 repunits premiers connus à ce jour (en base 10 évidemment), le plus grand étant:

$$\sum_{n=0}^{86452} 10^k$$.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
Bonsoir,
Non, car il y a 11 en plus; mais 11 n'est pas brésilien...
Donc au total , il y en a 7 connus à ce jour.
le lien que j' ai indiqué suite à la propriété 4 ne fonctionne pas, alors que c'est la bonne référence.

Essaie ici:c'est le même site, mais il faudra taper: 11,19,23, 317,
\lien{[www.research.att.com]\~{}njas/sequences/index.html}

J'espère que ça fonctionnera cette fois.

[Pour que le \~{} ne disparaisse pas il faut écrire (dans le lien LaTeX) \verb*=\~{}= (j'entends RAJ se gausser) :) AD]

[Compris, je note cette subtibilité; merci Alain ]
[je me mets à parler comme Royal ! voulais dire subtilité ]
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
Ok le lien fonctionne maintenant, ceci dit c'est surement l'espoir de tout mathématicien de de hausser au niveau de Gauss.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a treize années
avatar
O RAJ, ô désespoir, ô LaTeX ennemi !:)
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Une petite propriété qui a l'air de vous avoir échappé :

{\em Tout entier non nul est différence de deux nombres brésiliens.}

En effet, si $n$ impair est non nul alors $n+7$ est un nombre pair supérieur ou égal à $8$, donc il est brésilien (Théorème 1). Ainsi $n = (n+7) - 7$ est différence de deux brésiliens. Soit maintenant $n$ pair non nul. Alors $n+8$ est brésilien toujours par le Théorème 1, donc $n = (n+8) - 8$ est différence de deux brésiliens.

Question 1 : peut-on imposer de plus que la fréquence d'apparition d'un nombre donné (par exemple $7$) dans les écritures en différence de deux brésiliens des entiers successifs soit nulle ?

D'autre part les théorèmes 1 et 2 peuvent se reformuler ainsi :

{\bf Théorème 1} : Tout entier de la forme $2k+8$ pour $k \geq 0$ est brésilien.

{\bf Théorème 2} : Tout entier de la forme $ak+a^2+2a$ avec $a \geq 2$ est brésilien pour $k \geq 0$.

D'où la...

Question 2 : peut-on trouver une progression arithmétique $a k +b$ avec $(a,b)=1$ qui contienne une infinité de brésiliens ? [On a vu ci-dessus que si $a=6$ et $b=1$ ça ne marchait pas...]

Cordialement,
Jean-Yves Degos.
Les nombres brésiliens dans Quadrature
il y a neuf années
avatar
Bonjour,

Un très bon article sur ce sujet dans le numéro 76 de la revue Quadrature.

Il est signé B.S. et contient l'historique, les preuves, les références, et tout et tout.
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
avatar
Bonsoir,

Cidrolin, merci pour le "très bon article" :)

Voici une histoire vraie:

Acte 1: avril-mai (?) 2007

-> Scène 1: j'emprunte le Hypermaths de Pierre Bornsztein à la BU de Saint-Jérôme à Marseille.
-> Scène 2: chez ma ravissante coiffeuse, toujours en retard, je fais quelques exercices d'arithmétiques en attendant mon tour, et découvre celui intitulé "Nombres brésiliens" qui me séduit particulièrement.
-> Scène 3: de retour à la maison, quelques recherches de propriétés avec papier-crayon, puis surf sur la toile pour vérifier si ces nombres ont pignon sur rue.
-> Scène 4: décision prise: ouverture d'un fil sur le sujet pour faire partager mon enthousiasme; de nombreuses interventions ...de qualité affluent.
-> Scène 5: peut-être un mois plus tard, alors que le fil s'essouffle,egoroffski, alors egoroff m'écrit sur un autre fil quelque chose comme : "Sympa tes nombres brésiliens, pourquoi n'écris-tu pas un pdf sur ces nombres ?"
-> Scène 6: sur un 21x27, obéissant à egoroff, je rédige avec un stylo le début d'un texte structuré sur ces nombres brésiliens.

Entracte.

Amicalement.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
avatar
Bonjour,

je voulais juste dire que j'achète quadrature par habitude, et je trouve que cela devient mortel chiant.
Heureusement je découvre encore des numéros de La Recherche ou des livres de JP Delahaye qui me font siffler dans le train quand je reviens de Paris en si bémol la sortie.

S
Utilisateur anonyme
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
Bonjour Samok,
ton avis m'intéresse au plus haut point.
Pourrais tu argumenter?
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
avatar
Bonsoir Roger,

j'étais de super mauvaise humeur en écrivant cela.

Tant que Jean Moreau de St Martin répondra aux problèmes, je lirai cette revue.

S
Utilisateur anonyme
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
En fait, ce qui m'intéresse, c'est de savoir pourquoi tu n'aimes pas les articles de Quadrature alors que tu sembles apprécier la "vulgarisation" mathématique.

Le choix de Quadrature est de faire des maths et pas simplement d'évoquer vaguement les choses.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
J'ai acheté quadrature ce soir (chez Gibert). Félicitations bs! Tu fais preuve d'une grande érudition et d'un esprit créatif. Je suis trop faible en théorie des nombres pour en dire plus, sauf que tu me sembles appartenir au courant des maths à la "Erdos".
bs
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
avatar
Bonjour,

La suite... Acte ll,

Scène 1: en juillet 2008 , Quadrature écrit le message suivant sur notre forum.
Scène 2: au cours d'un échange de mails privés, Olivier me conseille pourquoi-pas de proposer un texte à Quadrature...
Scène 3: après quelques jours de réflexion, je déterre mon manuscrit sur les nombres brésiliens pour le restructurer.
Scène 4: Bernadette m'apprend le fonctionnement de Word, ce qui me permet d'envoyer un premier document-pdf à Quadrature en septembre 2008.
Scène 5: un copain professeur à l'École de l'Air vient m'installer Winedt et MikTex puis me donne un cours sur LaTex, réécriture et enrichissement du document.
Scène 6: plusieurs aller-retours du texte avec Quadrature; à noter dans cette phase l'aide primordiale de:
-> Olivier pour la finalisation de la démonstration de deux théorèmes et la présentation générale du tex, et de
-> Guego qui a écrit une dizaine de procédures Maple me permettant de vérifier ou d'infirmer quelques propriétés sur ces nombres brésiliens, certaines deviendront théorèmes, d'autres resteront conjectures.
Scène 7: le texte est accepté par le patient rapporteur de Quadrature (Pâques 2009), il m'est demandé de supprimer quelques paragraphes de mon choix, le texte étant jugé trop long.
Scène 8: relecture du pdf par mes amis Aleg, gb, Greg, Norbert et Olivier que je remercie sincèrement, sans oublier Guego.
Scène 9: envoi vers mai 2009 de la version quasi définitive de l'article à Quadrature.

Merci olib pour ton message, la comparaison avec "le courant des maths à la Erdös" me parait un peu osée ;)

Amicalement.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
Ce n'est pas une comparaison, c'est juste l'appartenance à un certain courant des mathématiques, celui de Erd&#337;s, l'homme qui n'aimait que les nombres:)
Re: 2007 est-il un nombre brésilien?
il y a neuf années
La publication d'un de ses travaux dans une revue comme Quadrature est un moment important dans la vie d'un mathématicien.

Félicitations, donc, à Bernard pour sa pugnacité et son travail original sur ces nombres.


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