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2007 est-il un nombre colombien ?

Envoyé par bs 
bs
2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour

{\bf Approche géographique} : 12 pays [ les dix "grands" + Guyana et Suriname ]composent le continent sud-américain.

{\bf Approche mathématique} : les nombres colombiens sont plus connus que leurs homologues brésiliens.

{\bf Définition} : un nombre colombien , ou auto-nombre, est un entier naturel qui, dans une base donnée, ne peut pas s'écrire sous la forme d'un nombre ajouté à la somme des chiffres de ce nombre.

{\bf Exemples} ( en base 10 ) :
-->23 n'est pas un nombre colombien, puisqu'il peut être généré par la somme de 16 et de ses chiffres, c’est-à-dire, 23 = 16 + 1 + 6.
-->20 est un nombre colombien car il n'existe pas une telle somme pour 20.

{\bf Historique}: La notion de nombre colombien est introduite en 1949 par le mathématicien indien Kaprekar lorsqu'il s'intéresse à une transformation sur les nombres qu'il appelle une digitaddition : ajouter au nombre la somme de ses chiffres.
par exemple S(56) = 56 + 5 + 6 = 67.
On dit que 67 est généré par 56. Certains nombres peuvent être générés par plusieurs nombres. C'est le cas, par exemple, de 509, généré par 502 et 493. D'autres nombres n'ont pas de générateur, Kaprekar les appelle des auto nombres ou nombres colombiens.

{\bf Questions}:
0) origine du qualificatif colombien ?
1) 2007 est-il un nombre colombien en base 10 ?
2) si non: générateurs ?
3) 2007 est-il un nombre colombien dans une autre base que 10 ?
4) un nombre brésilien peut-il être colombien ?
5) existe-til des nombres colombiens qui soient brésiliens ?

{\bf Références}:
\lien{[fr.wikipedia.org]}
\lien{[www.research.att.com]\~{}njas/sequences/?q=1\%2C3\%2C5\%2C7\%2C9\%2C20\%2C31\%2C42\%2C&language=english&go=Search}
Mathématiquement vôtre.
bs

[Lien réparé. AD]
[approche géographique modifiée suite remarque de Toto; merci Toto ]
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour ami modérateur:
peux-tu mettre le sujet en arithmétique ? merci.
Est-il possible pour l'émetteur d'un message de choisir son thème comme auparavant?
Encore des problèmes de Latex avec les ~ pour la deuxième référence .
Merci pour tous ces correctifs.
Amicalement.

[Non seulement le ~ qu'il faut écrire \~{} mais chaque % doit être banalisé \% :) AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par AD.
gb
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
{\bf 2007 est colombien en base 10.}

1. Si $n \leq 999$, alors $S(n) \leq 999 + 9 + 9 + 9 < 2007$.

2. Si $1000 \leq n \leq 1999$, on note $n = \overline{1abc}$, donc $S(n) = 1001 + 101a + 11b + 2c$.

Si $a \leq 8$, alors $S(n) \leq 1001 + 808 + 99 + 18 < 2007$.

Si $a = 9$ et $b \leq 7$, alors $S(n) \leq 1001 + 909 + 77 + 18 < 2007$.

Si $a = 9$ et $b = 8$, alors $S(n) = 1001 + 909 + 88 + 2c$ est pair : $S(n) \neq 2007$.

Si $a = 9$ et $b = 9$, alors $S(n) \geq 1001 + 909 + 99 > 2007$.

3. Si $2000 \leq n \leq 2999$, on note $n = \overline{2abc}$, donc $S(n) = 2002 + 101a + 11b + 2c$.

Si $a \geq 1$ ou $b \geq 1$, alors $S(n) \geq 2002 + 11 > 2007$.

Si $a=b=0$, alors $S(n) = 2002 + 2c$ est pair : $S(n) \neq 2007$.

4. Si $n \geq 3000$, alors $S(n) \geq n > 2007$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gb.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Rebonjour,

OK et merci gb; donc les questions 1,2 sont résolues ; et q3 devient inintéressante.

Pour q4 et q5 : il suffit de chercher l'intersection des suites
--> A003052 : nombres colombiens
--> A125134 : nombres brésiliens
dans l'encyclopédie des suites en ligne;[ deuxième lien initial ],
on obtient:
pour $n \leq 50$ , { Brésiliens } $\cap$ { Colombiens} = {$7, 20, 31, 42,$}

Reste donc question 0.

6) pour quelles raisons Kaprekar, auteur de son célèbre algorithme avec la constante $6174$, a-t-il étudié ces nombres ?

+ les vôtres ...

Amicalement.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Suis intéressé par cet article de l' American Mathematical Monthly:

B. Recaman, Problem E2408, Amer. Math. Monthly, 81 (1974), p. 407.

relatif aux nombres colombiens.

Merci .
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
bs, l'article est dans ta boîte aux lettres.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Merci Aleg: reçu 5/5.

Le problème est : montrer que dans chaque base , il existe une infinité de nombres colombiens; ce problème est résolu.

Il est par ailleurs énoncé que dans toute base impaire,tout nombre impair est colombien.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Dans l'article de l'AMM (remerci Aleg), est énoncé sans preuve ,que

"dans toute base impaire, tout nombre impair est colombien".
Je n'arrive pas à le démontrer alors que dans la référence Wikipédia de mon premier message, il est dit que ce n'est pas compliqué...

La réciproque est vraie aussi:[ démontrée par la mathématicien indien Joshi ]
"dans toute base impaire, tout nombre colombien est impair".
Cette preuve est plus délicate.

La démonstation de la première propriété me serait déjà fort agréable: je ne vois pas par quel bout la prendre.

Merci.
gb
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Soit $N$ un nombre non colombien en base $b$. Il existe donc un entier $n$ tel que
$n + S_b(n) = N$, où $S_b(n)$ est la somme des chiffres de l'écriture en base $b$ de $n$.
Si $n = \sum\limits_{k=0}^d a_kb^k$, alors $S_b(n) = \sum\limits_{k=0}^d a_k$ et $N = \sum\limits_{k=0}^d a_k(b^k+1)$.
Si $b$ est impair, tous les $b^k+1$ sont pairs, donc $N$ itou.

Par contraposition, si $N$ est impair, alors $N$ est colombien en base $b$.

La réciproque demande effectivement de montrer que tout nombre pair $N$ admet, en base $b$, une écriture de la forme $\sum\limits_{k=0}^d a_k(b^k+1)$, ce qui est "plus délicat"...
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Merci gb,

Soit la base $b$ impaire :

$N$ nombre non colombien en base $b \Rightarrow N$ pair.
Et, par contraposition, si $N$ est impair $\Rightarrow N$ est colombien en base $b$.

Effectivement, c'est plus simple de raisonner avec des nombres non colombiens.

[La case LaTeX. :) AD]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour à tous,

en utilisant
$\displaystyle{\prod_{k=0}^{\lfloor \log_b 2007 \rfloor}
\sum_{r=0}^{b-1} u^{r b^k} z^{r b^k + r}}$
on obtient la table suivante:

colombien en base 2
colombien en base 3
ne pas colombien en base 4, 1995, ([1, 3, 3, 0, 2, 3]), ([1, 9, 9, 5])
colombien en base 5
ne pas colombien en base 6, 1996, ([1, 3, 1, 2, 4]), ([1, 9, 9, 6])
colombien en base 7
ne pas colombien en base 8, 1994, ([3, 7, 1, 2]), ([1, 9, 9, 4])
colombien en base 9
colombien en base 10
colombien en base 11
ne pas colombien en base 12, 1988, ([1, 1, 9, 8]), ([1, 9, 8, 8])
colombien en base 13
ne pas colombien en base 14, 1985, ([10, 1, 11]), ([1, 9, 8, 5])
colombien en base 15
ne pas colombien en base 16, 1986, ([7, 12, 2]), ([1, 9, 8, 6])
colombien en base 17
ne pas colombien en base 18, 1998, ([6, 3, 0]), ([1, 9, 9, 8])
colombien en base 19
ne pas colombien en base 20, 2001, ([5, 0, 1]), ([2, 0, 0, 1])
colombien en base 21
colombien en base 22
colombien en base 23
ne pas colombien en base 24, 1981, ([3, 10, 13]), ([1, 9, 8, 1])
colombien en base 25
ne pas colombien en base 26, 1966, ([2, 23, 16]), ([1, 9, 6, 6])
colombien en base 27
ne pas colombien en base 28, 1989, ([2, 15, 1]), ([1, 9, 8, 9])
colombien en base 29
ne pas colombien en base 30, 1975, ([2, 5, 25]), ([1, 9, 7, 5])
colombien en base 31
ne pas colombien en base 32, 1949, ([1, 28, 29]), ([1, 9, 4, 9])


Quelqu'un arriverait-il à vérifier ces résultats?

Amicalement,

Marko
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
bs &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Bonjour
>
> {\bf Approche géographique} : 10 pays composent le
> continent sud-américain.



Faux. Il y a 12 pays qui composent l'Amérique du Sud.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Effectivement Toto,

Le Guyana, ancienne Guyane britannique ,et,
le Suriname, ancienne Guyane hollandaise,
ne faisaient pas partie de mon décompte...
Je le savais, mais ne considérais que les dix "grands", ce qui n'est effectivement pas rigoureux.

Merci pour cette rectification. Nous sommes sur un forum de maths, et il ne faut pas laisser de place pour l' à-peu-près, même lorsqu'on ne parle pas de mathématiques..

Amicalement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour Marko:

1)comme énoncé plus haut, dans une base impaire, tout nombre impair est colombien;
donc tes résultats sont corrects pour 3,5,7,9,11,...

2)pour les bases paires,sur les quelques cas que j'ai vérifiés, les nombres que tu indiques sont bien des générateurs de 2007.

Pas encore trop bien compris ton écriture avec $\displaystyle{\prod \sum}$

Merci pour cette réponse à ma question 3 initiale.

Amicalement.
gb
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Pour revenir aux nombre impairs colombiens en base impaire, on montre simplement par récurrence que tout nombre pair admet une décomposition :
$$N = \sum\limits_{k=0}^d a_k(b^k+1)$$
avec $0 \leq a_k \leq b-1$ pour tout $k$, et $N$ est généré par $n = \sum\limits_{k=0}^d a_kb^k$.

La suite $b^k + 1$ est croissante, de limite $+\infty$ : pour tout entier $N$, il existe un entier $d$ unique avec $b^d+1 \leq N \leq b^{d+1}$.

On montre alors la propriété $P(d)$ : "tout entier pair $N$ tel que $2 \leq N \leq b^{d+1}$ s'écrit sous la forme voulue $N = \sum\limits_{k=0}^d a_k(b^k+1)$".

Pour $d = 0$, on a $N$ pair avec $2 \leq b$ donc $2 \leq b-1$, et l'on a $N = \sum\limits_{k=0}^d a_k(b^k+1)$ avec $a_0 = N/2$ donc $1 \leq a_0 \leq b-1$.

Si $P(d-1)$ est vrai, pour prouver $P(d)$, il suffit de montrer que tout entier pair $N$ avec $b^d+1 \leq N \leq b^{d+1}$ est non colombien. Par division euclidienne, on a $N = a_d(b^d+1) + R$ avec $R$ pair ($N$ et $b^d$ le sont), $R \leq b^d$, donc $R = \sum\limits_{k=0}^{d-1} a_k(b^k+1)$.
Comme $b^d+1 \leq N \leq b^{d+1} < b^{d+1} + b = b(b^d+1)$, on a $1 \leq a_d < b$, et $N = \sum\limits_{k=0}^d a_k(b^k+1)$ est l'écriture voulue de $N$.
gb
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Un exemple en base 5 :
$584 = 4.126 + 80 = 4.126 + 3.26 + 2 = (4.125 + 3.25 + 1) + 4 + 3 + 1$
$584$ est généré par $(4301)_5$
Le "truc" est que les restes successifs sont pairs, ce qui assure la parité du dernier, le seul pour lequel ce soit utile.
bs
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Merci gb, puissant!

là encore par contraposition: pour montrer, en base impaire
--> colombien ==> impair, tu prouves:
--> pair ==> non colombien

deux lapsus, il me semble :
--> 4ème ligne: $d$ et $k$
--> 5ème ligne: propriété $P(d)$: "tout entier pair ..."

Remerci.
gb
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Les corrections sont faites.
Re: 2007 est-il un nombre colombien ?
il y a douze années
avatar
Bonjour à tous,

voici une table plus belle que celle d'hier, ansi que le programme avec lequel elle a été faite.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
base & contre-exemple & somme des chiffres\\
\hline
2 & - & - \\
3 & - & - \\
4 & $1995 = [1, 3, 3, 0, 2, 3]_{4}$ & 12 \\
5 & - & - \\
6 & $1996 = [1, 3, 1, 2, 4]_{6}$ & 11 \\
7 & - & - \\
8 & $1994 = [3, 7, 1, 2]_{8}$ & 13 \\
9 & - & - \\
10 & - & - \\
11 & - & - \\
12 & $1988 = [1, 1, 9, 8]_{12}$ & 19 \\
13 & - & - \\
14 & $1985 = [10, 1, 11]_{14}$ & 22 \\
15 & - & - \\
16 & $1986 = [7, 12, 2]_{16}$ & 21 \\
17 & - & - \\
18 & $1998 = [6, 3, 0]_{18}$ & 9 \\
19 & - & - \\
20 & $2001 = [5, 0, 1]_{20}$ & 6 \\
20 & $1982 = [4, 19, 2]_{20}$ & 25 \\
21 & - & - \\
22 & - & - \\
23 & - & - \\
24 & $1981 = [3, 10, 13]_{24}$ & 26 \\
25 & - & - \\
26 & $1966 = [2, 23, 16]_{26}$ & 41 \\
27 & - & - \\
28 & $1989 = [2, 15, 1]_{28}$ & 18 \\
29 & - & - \\
30 & $1975 = [2, 5, 25]_{30}$ & 32 \\
31 & - & - \\
32 & $1949 = [1, 28, 29]_{32}$ & 58 \\
33 & - & - \\
34 & $1977 = [1, 24, 5]_{34}$ & 30 \\
35 & - & - \\
36 & $1966 = [1, 18, 22]_{36}$ & 41 \\
37 & - & - \\
38 & $1984 = [1, 14, 8]_{38}$ & 23 \\
39 & - & - \\
40 & $1959 = [1, 8, 39]_{40}$ & 48 \\
41 & - & - \\
42 & $1967 = [1, 4, 35]_{42}$ & 40 \\
43 & - & - \\
44 & $1971 = [1, 0, 35]_{44}$ & 36 \\
44 & $1928 = [43, 36]_{44}$ & 79 \\
45 & - & - \\
46 & $1926 = [41, 40]_{46}$ & 81 \\
47 & - & - \\
48 & - & - \\
49 & - & - \\
50 & $1959 = [39, 9]_{50}$ & 48 \\
51 & - & - \\
52 & $1947 = [37, 23]_{52}$ & 60 \\
53 & - & - \\
54 & $1931 = [35, 41]_{54}$ & 76 \\
55 & - & - \\
56 & $1966 = [35, 6]_{56}$ & 41 \\
57 & - & - \\
58 & $1944 = [33, 30]_{58}$ & 63 \\
59 & - & - \\
60 & $1918 = [31, 58]_{60}$ & 89 \\
61 & - & - \\
62 & $1949 = [31, 27]_{62}$ & 58 \\
63 & - & - \\
64 & $1917 = [29, 61]_{64}$ & 90 \\
65 & - & - \\
66 & $1946 = [29, 32]_{66}$ & 61 \\
67 & - & - \\
68 & $1975 = [29, 3]_{68}$ & 32 \\
69 & - & - \\
70 & $1935 = [27, 45]_{70}$ & 72 \\
71 & - & - \\
72 & $1962 = [27, 18]_{72}$ & 45 \\
73 & - & - \\
74 & $1916 = [25, 66]_{74}$ & 91 \\
75 & - & - \\
76 & $1941 = [25, 41]_{76}$ & 66 \\
77 & - & - \\
78 & $1966 = [25, 16]_{78}$ & 41 \\
79 & - & - \\
80 & $1912 = [23, 72]_{80}$ & 95 \\
81 & - & - \\
82 & $1935 = [23, 49]_{82}$ & 72 \\
83 & - & - \\
84 & $1958 = [23, 26]_{84}$ & 49 \\
85 & - & - \\
86 & $1981 = [23, 3]_{86}$ & 26 \\
87 & - & - \\
88 & $1917 = [21, 69]_{88}$ & 90 \\
89 & - & - \\
90 & $1938 = [21, 48]_{90}$ & 69 \\
91 & - & - \\
92 & $1959 = [21, 27]_{92}$ & 48 \\
93 & - & - \\
94 & $1980 = [21, 6]_{94}$ & 27 \\
95 & - & - \\
96 & $1906 = [19, 82]_{96}$ & 101 \\
97 & - & - \\
98 & $1925 = [19, 63]_{98}$ & 82 \\
99 & - & - \\
100 & $1944 = [19, 44]_{100}$ & 63 \\
101 & - & - \\
102 & $1963 = [19, 25]_{102}$ & 44 \\
103 & - & - \\
104 & $1982 = [19, 6]_{104}$ & 25 \\
105 & - & - \\
106 & $1896 = [17, 94]_{106}$ & 111 \\
107 & - & - \\
108 & $1913 = [17, 77]_{108}$ & 94 \\
109 & - & - \\
110 & $1930 = [17, 60]_{110}$ & 77 \\
111 & - & - \\
112 & $1947 = [17, 43]_{112}$ & 60 \\
113 & - & - \\
114 & $1964 = [17, 26]_{114}$ & 43 \\
115 & - & - \\
116 & $1981 = [17, 9]_{116}$ & 26 \\
117 & - & - \\
118 & $1881 = [15, 111]_{118}$ & 126 \\
119 & - & - \\
120 & $1896 = [15, 96]_{120}$ & 111 \\
121 & - & - \\
122 & $1911 = [15, 81]_{122}$ & 96 \\
123 & - & - \\
124 & $1926 = [15, 66]_{124}$ & 81 \\
125 & - & - \\
126 & $1941 = [15, 51]_{126}$ & 66 \\
127 & - & - \\
128 & $1956 = [15, 36]_{128}$ & 51 \\
\end{tabular}
\end{center}
La fonction
$\displaystyle{f_b(z, u) = \prod_{k=0}^{\lfloor \log_b 2007 \rfloor}
\sum_{r=0}^{b-1} u^{r b^k + r} z^{r b^k}}$
est une simple représentation algébrique du probleme, ayant la propriété que
$\displaystyle{[u^{2007}] f_b(z, u) = \sum_{k + S_b(k) = 2007} z^k}.$

Amicalement,
Marko
[attachment 5680 colombien.zip]
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