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nombres remarquables

Envoyé par galax 
nombres remarquables
il y a douze années
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Bonjour BS
Un problème qui va t'intéresser sans doute :

On dit qu'un nombre $n$ est remarquable s'il existe $a_1, a_2, \ldots , a_k,\ k$ nombres naturels non nuls, tels que :
$a_1+a_2+ \ldots +a_k= n$
$\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \ldots +\frac{1}{a_k} = 1 $

Questions: Quels sont des propriétés de ces nombres ?
2007 est-il remarquable ?
A-t-on étudié déjà ces nombres ?

Sincèrement,
Galax

[Merci à Aleg pour la correction du LaTeX. AD]
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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merci aleg,
Galax
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonjour,

par exemple,$11$ est remarquable:

$2+3+6= 11$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = 1$

Tu permets les égalités du type $a_k=a_j$ ?

Cette fois, je prendrais la direction de l'Egypte.

Amicalement.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Ce n'est pas inqidué.

Donc a priori tout carré (sauf 0 et 1) est remarquable (superbe avancée ! smoking smiley )

a+



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par Sisbai.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/27+1/35+1/63+1/105+1/135=1
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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bonsoir,

bravo RAJ

vous progressez vite avec ces nombres

bs>>> on peux ( suite à ta remarque) considérer deux catégories de nombres remarquables ou égyptiens :

super-remarquables , ceux sans répétition
puis remarquables...

et aussi k-remarquables...

Il reste à caractériser ces nombres et découvrir quelques de leurs propriétés.

Sincèrement,

Galax



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par galax.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonsoir

Avec répititions (c'est déjà ça) :

1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/43 + 1/56 + 1/1806 = 1

et

4 + 4 + 8 + 12 + 12 + 12 + 20 + 30 + 43 + 56 + 1806 = 2007

a+
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonsoir,

Galax: si tous les $a_k$ sont différents , il me semble que ton problème peut trouver réponses à l'aide de la théorie des fractions égyptiennes ( celles des pharaons ), comme tu le sais.

Par exemple:

\lien{[fr.wikipedia.org]\%C3\%A9gyptienne}
\lien{[www.ac-nancy-metz.fr]}

Bonne nuit

[Liens réparés. AD]
Re: nombres remarquables
il y a douze années
L'exemple que j'ai cité n'est évidemment pas une découverte personnelle. J'ai cité Richard Guy (Unsolved problems in number theory).

"John Leech, in a letter dated 77:03:14, asks what is known about sets of unequal odd integers whose reciprocals add to 1, such as:

1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/27+1/35+1/63+1/105+1/135=1

He says that you need at least nine in the set, while in the other hand the largest denominator must be at least 105".
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Bonsoir

On peut construire d'autres nombres remarquables avec l'identité $\frac{1}{x} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x(x+1)}$.
Et on peut les rendre << super >> avec $\frac{2}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{x(x+1)}$.

2001 par exemple est super-remarquable (en jouant avec l'identité de RAJ).

Galax, tu as le chic pour trouver des énoncés simples mais prenant.

A+
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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bonjour,

Voici quelques pistes pour l'étude des nombres remarquables.

Questions:

Quels sont des nombres non remarquables inferieurs à 100?

Quels sont des nombres non super-remarquables inferieurs à 100?

Existe-il un nombre non remarquable maximal?



Une propriété facile à montrer:

Si n est remarquable, alors 2n + 2 l'est aussi.

Sincèrement,

Galax
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Suite au pb des chameaux:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18}= 1$$
$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12}= 1$$

$32$ et $24$ sont super-égyptiens.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}+\dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{512}+\dfrac{1}{768}+\dfrac{1}{1536}=1$
Re: nombres remarquables
il y a douze années
1/2+1/4+...+1/2^n=1-1/2^(n+1)

1/2^n+1/2^(n+1)=3/2^(n+1), donc

1/2^(n+1)=1/(3*2^n)+1/(3*2^(n+1))

d'où le résultat.
C'est un peu facile.
D'après la remarque de Leech, que j'ai citée plus haut, le cas des "odd integers" semble plus ardu.
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Guego + RAJ ==>:)

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}+...+\dfrac{1}{2^{n-1}}+\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3.2^{n-1}}+\dfrac{1}{3.2^n}=1$

C'est ça ?
Re: nombres remarquables
il y a douze années
L'exemple de bs se généralise de la même façon :
$\displaystyle \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^n} \right) + \frac{1}{2\times 3 n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{3^n} + \frac{1}{2\times 3^n} \right) =1$
Dans le même genre:
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\ldots +\frac{1}{5^n}+ \frac{1}{4\times 5^n}=1$
Malheureusement, il y a toujours des nombres pairs.

[C'est plus clair en LaTeX. :) AD]
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Remarquons que 3=2+1 et que 5=2²+1. A vue de nez, on peut trouver des formules du même genre à partir des nombres m=2^k+1.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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bonsoir,

Je testé des nombres jusqu'au 50 ( cf mon message de dim 28 janvier 2007 15:50:37) et il semble que tout naturel strictement supérieur à 23 et inférieur à 50 est égyptien.
( NB j'adopte la terminologie de bs).
24 2 4 8 8
25 5 5 5 5 5
26 4 4 6 6 6
27 3 6 6 6 6
28 4 4 4 8 8
29 3 6 4 8 8
30 4 4 4 6 12
31 3 4 6 6 12
32 2 8 8 8 8
33 3 3 9 9 9
34 2 8 8 8 8
35 2 6 9 9 9
36 6 6 6 6 6 6
37 2 3 8 24
38 2 6 6 12 12
39 3 3 6 9 18
40 4 4 8 8 8 8
41 2 6 6 9 18
42 2 4 12 12 12
43 3 3 5 12 20
44 4 4 6 6 12 12
43 6 6 6 12 12
46 2 4 8 16 16
47 4 4 6 6 9 18
48 4 4 4 12 12 12
49 7 7 7 7 7 7 7
50 2 4 8 16 16

Le premièr nombre est le nombre égyptien et les autres sont des $a_i$ qui lui correspondent
j'ai utilisé pour cela des propriétés déjà cité plus haut , ainsi que des propriétés faciles à montrer:
Si n est égyptien, alors 2n + 2, 2n+ 8, 2n + 9, 3n + 6, 3n +8 le sont aussi
( car $ \frac{1}{2}=\frac{1}{4} +\frac{1}{4}= \frac{1}{3} +\frac{1}{6}$ et
$ \frac{2}{3}=\frac{1}{3} +\frac{1}{3}= \frac{1}{2} +\frac{1}{6}$ )

A-t-on en géneral que tout naturel strictement supérieur à 23 est égyptien?

Pour le super-égyptien tout est encore à étudier .

Sincérement,

Galax
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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pour modifier le message de RAJ:

L'exemple de bs se généralise de la même façon :
$\displaystyle \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^n} \right) + \frac{1}{2\times 3^n} = 1$
pour $ n \geq 2$

Remplacer $3n$ par $3^n$,
puis, supprimer mon message ;
merci Gentil modérateur.
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonjour galax,

Pour des raisons historiques ( fractions égyptiennes ), c'est très élégant de choisir le qualificatif d'égyptien; maintenant, les Égyptiens s'interdisaient la répétition de deux fractions de même dénominateur dans leurs sommes...

Pour les super-égyptiens,( ie : sans répétition de dénominateur )

1°) une première méthode consiste à regarder les partitions d'un nombre, d'éliminer ceux contenant au-moins un 1, et ceux contenant deux fois le même nombre. Par exemple:
-->pour 11: 2+3+6, 2+4+5, et (2,3,6) convient [ 11 est d'ailleurs le plus petit; il y a 4 , mais on utilise deux fois 2 ]
-->pour 12: 2+3+7, 2+4+6, 3+4+5 et aucun ne convient.

2°) une seconde méthode : utiliser des relations type RAJ qui en propose trois.
--> pour la première ( 17h18 )
n=2 ==> (2,4,6,12) et 24
n=3 ==> (2,4,8,12,24) et 50
n=4 ==> (2,4,8,16,24,48) et 102

--> pour la seconde ( 08h01 )
n=2 ==> (2,3,9,18) et 32
n=3 ==> (2,3,9,27,54) et 95

--> pour la troisième ( 19h25 )
n=1 ==> (2,4,5,20) et 31
n=2 ==> (2,4,5,25,100) et 136

3°) une troisième méthode : récolter vos résultats !
exemple : (2,3,8,24) et 37 ; ref: galax ( message précédent )

Ce qui donne en première approche, sans être exhaustif, pour les nombres inférieurs à 100:
$1, 11, 24, 31, 32, 37, 45, 50, 55, 79, 92, 95 $

Bonne journée.

[ modification 1: ajouter 37, suite galax ]
[ modification 2: ajouter 55, suite nombres parfaits ]
[ modification 3: ajouter 79 et 92, suite 1/8 = 1/10 + 1/40 ]
[ modification 4: ajouter 1=1/1]
[ modification 5: suppression de 12]
[ modification 6: ajouter 45, suite message du 3 fev à 19h46 ]
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonjour,

Voici mes nouvelles de dernière minute.

La proposition: Si n est égyptien, alors 2n + 2 l'est aussi.
permet montrer après avoir verifier que tout nombre entre 23 et 48 = 2x23 + 2 sont égyptiens que ( ce que j'ai fait) alors tout nombre paire superieur ou égal à 23 est égyptien.

De même:
La proposition: Si n est égyptien, alors 2n + 9 l'est aussi.
permet montrer après avoir verifier que tout nombre entre 23 et 55 = 2x23 + 9 sont égyptiens que ( il reste à vérifier que 51, 52, 53 , 54 et 55 sont égyptiens, ce que je faire sans doute ce soir) alors tout nombre impaire superieur ou égal à 23 est égyptien

Ainsi:
Tout naturel strictement supérieur à 23 est égyptien

(sous réserve de la vérification qui reste encore à faire)

D'autre part, il me reste à montrer rigouresement que 23 n'est pas égyptien.

Sincèrement,

Galax



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonjour bs et RAJ,

bs>>>> j'ai vu ton message.

Bravo pour vos progès.

Dans mes calculs d'hier il a une expression de 37 qui montre qu'il est aussi super-égyptien.

Sincèrement,

Galax

PS bs as-tu pensé tu exploiter informatiquement ton idée combinatoire sur les partitions de nombres?
( dommage que je n'ai aucun logiciel de calcul formel )



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Une avancée:

Théorème: Tout nombre parfait $n$ fournit un nombre super-égyptien égal à $2n-1$; (facile)

6 = 1 + 2 + 3 ==> 1 = 1/6 + 1/3 + 1/2 ( 11 dejà vu )

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ==> 1 = 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 ( 55 est nouveau )

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 ==> ( 991 super-égyptien)

référence:
\lien{[fr.wikipedia.org]}
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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de 1/8 = 1/10 +1/40, on obtient par substitution:

[37--> (2,3,8,24)] ===> [79--> (2,3,10,24,40)]
[50--> (2,4,8,12,24)] ===> [92--> (2,4,10,12,24,40)]

79 et 92 nouveaux.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Posons m=1+2^k.

Il est facile de voir (suite géométrique ou récurrence) que:

S=1/m+1/m²+...+1/m^n +1/[(m-1)*m^n]=1/(m-1)

Donc: S+(m-2)/(m-1)=1

Par ailleurs:

(m-2)/(m-1)=(-1+2^k)/2^k=1-1/2^k=1/2+1/2²+..+1/2^k.

On obtient ainsi une décomposition de 1 comme somme des inverses de nombres tous différents
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonsoir,

Voici les 5 nombres pour lesquels a manqué la preuve qu'ils sont égyptiens:
51 4 4 5 6 12 20
52 2 10 10 10 10 10
53 3 6 6 6 8 24
54 2 8 8 12 12 12
55 3 3 10 12 12 15
Le premièr nombre est le nombre égyptien et les autres sont des $ a_i$ qui lui correspondent

Ce qui confirme la propriété :
Tout naturel strictement supérieur à 23 est égyptien



Sincèrement,

Galax

PS j'ai prouvé aussi que 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20 et 22 sont égyptiens

4 2 2
9 3 3 3
10 2 4 4
11 2 3 6
16 4 4 4 4
17 3 4 4 6
18 3 3 6 6
20 2 6 6 6
22 2 4 8 8

Le premièr nombre est le nombre égyptien et les autres sont des $ a_i$ qui lui correspondent

Ainsi il reste à prouver que les entièrs 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 19, 21 et 23 ne sont pas égyptiens.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Autre citation de Richard Guy:

"Graham has shown that if n>77, we can partition n=x(1)+..+x(t) into t distinct positive integers so that somme 1/x(i)=1"
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Exemple du "tous distincts": 31=2+4+5+20 (obtenu avec k=2, m=2²+1=5 et n=1)

1/2+1/4+1/5+1/20=1

Galax obtient une autre solution: 31=3+4+6+6+12

1/3+1/4+1/6+1/6+1/12=1
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonsoir,

--> RAJ :
1) hier soir, j'ai réécrit ce que vous aviez dit plus haut sans valeur ajoutée; donc, effaçage ce matin.
2)Autre citation de Richard Guy:
"Graham has shown that if n>77, we can partition n=x(1)+..+x(t) into t distinct positive integers so that somme 1/x(i)=1".
Quels sont les références des livres écrits par ces auteurs ?

--> Bon boulot Galax;
dans ta liste, 12 est super égyptien: dernier message de la première page.

Bonne nuit.
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Le dernier exemple de RAJ en Latex devient:

si$ k \geq 1$, $m=2^k+1$, $ n \geq 1$
$$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}+\ldots +\frac{1}{m^n}+ \frac{1}{(m-1)\times m^n}=1$$

Applications:
$k=1,m=3,n=1$ ==> $11, (2,3,6)$
$k=2,m=5,n=1$ ==> $31, (2,4,5,20)$
$k=3,m=9,n=1$ ==> $95, (2,4,8,9,72)$
$k=1,m=3,n=2$ ==> $32, (2,3,9,18)$
$k=1,m=3,n=3$ ==> $95, (2,3,9,27,54)$

Rien de nouveau: tous déjà obtenus.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Bonjour bs et merci de votre aide.

Je n'ai pas compris votre phrase: "...ce que vous aviez dit plus haut sans valeur ajoutée; donc, effaçage ce matin".

J'avais pourtant pensé à régler la TVA avant d'appuyer sur Envoi.

Richard Guy donne beaucoup de références à la fin de chaque sujet. Voici celles pour Graham:

A Theorem on partitions, J. Austral.Math.Soc. 4 (1963) 435-441.

On finite sums of unit fractions, Proc.London Math Soc.(3) 14 (1964) 193-207;
Re: nombres remarquables
il y a douze années
avatar
Bonjour BS et RAJ,

Une observation empirique,

Dans tous les exemples, sauf celui de RAJ concernant des super-égyptiens, cité dans ce fils :
1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/27 + 1/35 + 1/63 + 1/105 + 1/135 = 1

la "plus grande composante" est ppcm des autres composantes.

Sincèrement,
Galax

PS1 un essai sur la calculatrice donne
68(2,3,21,42) super-égyptien. NB ceci est faux, merci RAJ de me le signaler(cf sam 3 février 2007 16:30:50)
PS2 Ca ne marche pas toujours : 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/66 = 31/33
mais il serait intéressant de voir quand ça fonctionne.
PS3 est-ce que la preuve de
"if n>77, we can partition n=x(1)+..+x(t) into t distinct positive integers so that somme 1/x(i)=1" de propriété cité par RAJ de Graham ne pourrait pas être prouvée selon même schéma que la propritété concernant des nombres égyptiens que j'ai réussià montrer?



Edité 8 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Bonjour Galax: il me semble que: 1/2+1/3+1/21+1/42=19/21
SXB
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Si vous voulez créer un nombre remarquable, il vous suffit de prendre la série des 2^m (un peu comme l'a fait Richard André-Jeannin) et de dire que:

1/2+...+1/2^n+1/2^n=1

Par exemple

2+4+8+16+32+64+128+256+1024+2048+4096+8192+16384+16384=49150 est remarquable.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
Pour 68, j'obtiens avec le solveur d'Excel: (3,5,5,6,14,35).
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Richard André-Jeannin &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> Bonjour Galax: il me semble que:
> 1/2+1/3+1/21+1/42=19/21

Oui tu as raison, j'ai copié une mauvaise ligne de ma calculatrice

1/2+1/3+1/7+1/42=1 et donc 53 est super-égyptien


Sincèrement,

Galax

PS RAJ Il est probable que 77 n'est pas super-égyptien, peut-tu le vérifier stp, je tente le faire aussi...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Chers amis égyptologues,

Galax-Osiris demande : est-ce que la preuve de
"if n>77, we can partition n=x(1)+..+x(t) into t distinct positive integers so that somme 1/x(i)=1" , propriété cité par RAJ-Râ de Graham ne pourrait pas être prouvée selon même schéma que la propritété concernant des nombres égyptiens que j'ai réussi à montrer?

bs-horus répond:
Ca me parait plus délicat car les répétitions ne sont pas admises.

Par contre, en utilisant des relations comme :
(1/3 = 1/4 + 1/12),(1/4 = 1/5 + 1/20),(1/6 = 1/9+ 1/18),...,
il est possible de créer de nouveaux super-égyptiens quand on en connait déjà.

--> exemple : 24 : (2,4,6,12) est connu;
suite à (1/4 = 1/5 + 1/20); on obtient:
(2,5,20,6,12)=(2,5,6,12,20) ==> 45 est super-égyptien nouveau.

horus.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Autre solution pour 53 :
1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/30 = 1
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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bs-horus,

Si n est super-égyptien, alors 2n + 2 l'est aussi.

Ainsi pour démontrer la propriété de Graham pour tout nombre pair, il suffit de
prouver que des entiers de 78 à 158 = 2x78 + 2 sont des super-égyptiens à contion qu'on prouve une propriété analogue pour tous les nombres impaires super-égyptiens.
Pour les impairs même Osiris n'as aucune idée.
Sincèrement,
Galax

NBJe viens completer le schéma de travail ci-dessus



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
1=1/2+1/2
=1/2+5/10
=1/2+(4/10+1/10)
=1/2+2/5+1/10
=1/2+(1/5+1/5)+1/10
=1/2+1/5+(1/6+1/30)+1/10,

car 1/n=1/(n+1)+1/[n(n+1)].

Cette propriété, signalée par Guimauve, permet de multiplier les décompositions à l'infini.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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Bonsoir,

Les identités

1/2= 1/3+ 1/6
1/3= 1/4 + 1/12
1/4= 1/6 + 1/12
1/4= 1/5 + 1/20
1/6= 1/10 + 1/15
1/6= 1/9 + 1/18
1/6= 1/8 + 1/24
1/6= 1/7 +1/42

permettent obtenir des nouveaux nombres super-égyptiens

J'attaque la liste entre 78 et 158 mais ca avance lentement.(J'ai trouvé 20 environs dans cet intervalle)

Je continuerai demain.


Bonne soirée

Galax

PS Je viens découvrir que sur le site [www.research.att.com] on trouve ce sujet déja traité sous le nom "Strict Egyptian numbers"



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
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bonjour,

suite à mon e_mail à Neil Sloane njas@research.att.com

... 1) In complement of the finite sequence: numbers non Egyptian,

in French « nombres non-égyptiens » ,

reference A028229,: "2, 3, 5, 6, 7, 8,12,13,14,15,19, 21, 23".



2) I propose this sequence: numbers Egyptian in French « nombres égyptiens »

1, 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 25 … (alls numbers >23 are Egyptian numbers)

a)Definition:

A natural number n is called Egyptian number if there are

a_1, a_2,..., a_k, k

naturals numbers such that

a_1+a_2+...+ a_k = n

and

1/a_1 + 1/a_2 +...+ 1/a_k = 1


b) I develop this subject on French mathematical forum “Phorum5” ....

[www.les-mathematiques.net]

and I received help from bs (Bernard Schott.) and RAJ(Richard André-Jeannin)

If you are interesting, contact me.

Thank You.

Your site is really beautiful...


j'ai reçu de sa part la reponse suivante:

Merci pour cette suite - je l'ajouterai a le OEIS !

Bien cordialement

Neil Sloane



Sincèrement,

Galax
bs
Re: nombres remarquables
il y a douze années
avatar
Bravo Galax,

Elle est référencée : A125726 !!!!!!!!!!!! et se trouve ici:

\lien{[www.research.att.com]}

Amicalement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: nombres remarquables
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Grâce aux encouragements et des conseils de Bs vous trouverez ci-dessus un

EPILOGUE

--->Je tiens à vous préciser que j'ai pu obtenir de N. J. A. Sloane qu'il mentionne dans la suite des nombres égyptiens ( Ref : A125726) une référence avec un lien direct sur notre Phorum5, ce qui fait une excellente publicité de dimension internationale.(essayez-le)
J'espère que ceci plaira à Manu et aux modérateurs qui consacrent beaucoup de leur temps précieux avec compétence et gentillesse.

--->Je remercie toutes les personnes qui se sont intéressées à ce fil et en particulier Bs et RAJ.

--->Lorsque j'ai initié ce fil, j'ignorais que ces nombres avaient été étudiés.

---> Lorsque Bs a proposé l'appellation "nombres égyptiens", Bs ignorait que ces nombres s'appelaient "egyptian numbers" en anglais; j'ignorais également que ce que j'appelais nombres super égyptiens étaient les "strict egyptian numbers "

---> Au fur et à mesure que les résultats étaient démontrés dans le fil, en allant voir sur le site de Sloane, il est apparu que:
1) la suite "2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23" des nombres non égyptiens était référencée:
(A028229)
2) la suite "1,11,24,30,31,32,..." des nombres strictement égyptiens était référencée:
( A052428 )
3) la suite "2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,12,13,14,15,16,17,18,19,20,19,21,22,23" des nombres non strictement égyptiens était référencée:(A051882 )
4) restait donc un vide : la suite des nombres égyptiens que j'ai ainsi pu créer grâce à votre soutien.( ref: A125726)
[www.research.att.com]

Sincèrement,

Galax



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
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