nombres remarquables

Ce n'est pas inqidué.

Donc a priori tout carré (sauf 0 et 1) est remarquable (superbe avancée ! B-)- )

a+

Bonsoir,

Galax: si tous les $a_k$ sont différents , il me semble que ton problème peut trouver réponses à l'aide de la théorie des fractions égyptiennes ( celles des pharaons ), comme tu le sais.

Par exemple:

\lien{
\lien{http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/APMEP/regionale/gerardmer/atelJA08.html}

Bonne nuit

[Liens réparés. AD]

Bonsoir

On peut construire d'autres nombres remarquables avec l'identité $\frac{1}{x} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x(x+1)}$.
Et on peut les rendre << super >> avec $\frac{2}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{x(x+1)}$.

2001 par exemple est super-remarquable (en jouant avec l'identité de RAJ).

Galax, tu as le chic pour trouver des énoncés simples mais prenant.

A+

Suite au pb des chameaux:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18}= 1$$
$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12}= 1$$

$32$ et $24$ sont super-égyptiens.

1/2+1/4+...+1/2^n=1-1/2^(n+1)

1/2^n+1/2^(n+1)=3/2^(n+1), donc

1/2^(n+1)=1/(3*2^n)+1/(3*2^(n+1))

d'où le résultat.
C'est un peu facile.
D'après la remarque de Leech, que j'ai citée plus haut, le cas des "odd integers" semble plus ardu.

L'exemple de bs se généralise de la même façon :
$\displaystyle \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^n} \right) + \frac{1}{2\times 3 n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \left(1-\frac{1}{3^n} + \frac{1}{2\times 3^n} \right) =1$
Dans le même genre:
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\ldots +\frac{1}{5^n}+ \frac{1}{4\times 5^n}=1$
Malheureusement, il y a toujours des nombres pairs.

[C'est plus clair en LaTeX. AD]

Bonjour galax,

Pour des raisons historiques ( fractions égyptiennes ), c'est très élégant de choisir le qualificatif d'égyptien; maintenant, les Égyptiens s'interdisaient la répétition de deux fractions de même dénominateur dans leurs sommes...

Pour les super-égyptiens,( ie : sans répétition de dénominateur )

1°) une première méthode consiste à regarder les partitions d'un nombre, d'éliminer ceux contenant au-moins un 1, et ceux contenant deux fois le même nombre. Par exemple:
-->pour 11: 2+3+6, 2+4+5, et (2,3,6) convient [ 11 est d'ailleurs le plus petit; il y a 4 , mais on utilise deux fois 2 ]
-->pour 12: 2+3+7, 2+4+6, 3+4+5 et aucun ne convient.

2°) une seconde méthode : utiliser des relations type RAJ qui en propose trois.
--> pour la première ( 17h18 )
n=2 ==> (2,4,6,12) et 24
n=3 ==> (2,4,8,12,24) et 50
n=4 ==> (2,4,8,16,24,48) et 102

--> pour la seconde ( 08h01 )
n=2 ==> (2,3,9,18) et 32
n=3 ==> (2,3,9,27,54) et 95

--> pour la troisième ( 19h25 )
n=1 ==> (2,4,5,20) et 31
n=2 ==> (2,4,5,25,100) et 136

3°) une troisième méthode : récolter vos résultats !
exemple : (2,3,8,24) et 37 ; ref: galax ( message précédent )

Ce qui donne en première approche, sans être exhaustif, pour les nombres inférieurs à 100:
$1, 11, 24, 31, 32, 37, 45, 50, 55, 79, 92, 95 $

Bonne journée.

[ modification 1: ajouter 37, suite galax ]
[ modification 2: ajouter 55, suite nombres parfaits ]
[ modification 3: ajouter 79 et 92, suite 1/8 = 1/10 + 1/40 ]
[ modification 4: ajouter 1=1/1]
[ modification 5: suppression de 12]
[ modification 6: ajouter 45, suite message du 3 fev à 19h46 ]

de 1/8 = 1/10 +1/40, on obtient par substitution:

[37--> (2,3,8,24)] ===> [79--> (2,3,10,24,40)]
[50--> (2,4,8,12,24)] ===> [92--> (2,4,10,12,24,40)]

79 et 92 nouveaux.

Exemple du "tous distincts": 31=2+4+5+20 (obtenu avec k=2, m=2²+1=5 et n=1)

1/2+1/4+1/5+1/20=1

Galax obtient une autre solution: 31=3+4+6+6+12

1/3+1/4+1/6+1/6+1/12=1

Bonjour,

Le dernier exemple de RAJ en Latex devient:

si$ k \geq 1$, $m=2^k+1$, $ n \geq 1$
$$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}+\ldots +\frac{1}{m^n}+ \frac{1}{(m-1)\times m^n}=1$$

Applications:
$k=1,m=3,n=1$ ==> $11, (2,3,6)$
$k=2,m=5,n=1$ ==> $31, (2,4,5,20)$
$k=3,m=9,n=1$ ==> $95, (2,4,8,9,72)$
$k=1,m=3,n=2$ ==> $32, (2,3,9,18)$
$k=1,m=3,n=3$ ==> $95, (2,3,9,27,54)$

Rien de nouveau: tous déjà obtenus.

Si vous voulez créer un nombre remarquable, il vous suffit de prendre la série des 2^m (un peu comme l'a fait Richard André-Jeannin) et de dire que:

1/2+...+1/2^n+1/2^n=1

Par exemple

2+4+8+16+32+64+128+256+1024+2048+4096+8192+16384+16384=49150 est remarquable.

Autre solution pour 53 :
1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/30 = 1

1=1/2+1/2
=1/2+5/10
=1/2+(4/10+1/10)
=1/2+2/5+1/10
=1/2+(1/5+1/5)+1/10
=1/2+1/5+(1/6+1/30)+1/10,

car 1/n=1/(n+1)+1/[n(n+1)].

Cette propriété, signalée par Guimauve, permet de multiplier les décompositions à l'infini.