infinité des nombres premiers

Bonsoir à tous,

Moi qui suis un béotien en arithmétique, je m'adresse particulièrement aux cadors du domaine, qui interviennent sur ce forum (je ne citerai pas tous les noms pour ne pas froisser des susceptibilités).

Dans le numéro de décembre 2006 de l'{\bf American Mathematical Monthly} est parue une toute petite note (une page) qui m'intrigue.

Elle est signée d'un certain {\bf Filip Saidak} (que je n'ai pas l'honneur de connaître) et s'intitule "{\it a New Proof of Euclid's Theorem}".

Pour ne pas faire de contresens en traduisant, je vous recopie l'argument in english :

"{\it Today many proofs of Euclid's theorem are known. It may come as a surprise that the following almost trivial argument has not been given before :}

New proof : {\it Let $n>1$ be an arbitrary integer. Since $n$ and $n+1$ are consecutive integers, they must be coprime.
Hence the number $N_2=n(n+1)$ must have at least two different prime factors. Similarly, since the integers $n(n+1)$ and $n(n+1)+1$ are consecutive, and therefore coprime, the number
$$N_3=n(n+1)[n(n+1)+1]$$
must have at least three different prime factors. This process can be continued indefinitely, so the number of primes must be infinite. }

Analysis : {\it the proof just given is conceptually even simpler than the original proof due to Euclid, since it does not use Eudoxus's method of "reductio ad absurdum", proof by contradiction. And unlike most others proofs of the theorem, it does not require [...] Euclid's lemma (that states : if $p$ is a prime and $p|ab$ then either $p|a$ or $p|b$).
Moreover, our proof is constructive, and it gives integers with an arbitrary number of prime factors.}"

Connaissant l'américano-centrisme assez navrant qui sévit de nos jours outre-atlantique, et qui pousse parfois certains auteurs à qualifier de "new" un truc déjà bien connu ailleurs, ma question est simple :

{\it cette démonstration est-elle nouvelle ?}

(Mon impression est que non car il me semble avoir déjà vu ce genre d'argument quelque part (peut-être sur ce forum, d'ailleurs ?), mais, comme je l'ai dit au début, mon ignorance dans le domaine de l'arithmétique ne me permet pas de prendre au sérieux mes propres impressions...)