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infinité des nombres premiers

Envoyé par Aleg 
infinité des nombres premiers
il y a treize années
Bonsoir à tous,

Moi qui suis un béotien en arithmétique, je m'adresse particulièrement aux cadors du domaine, qui interviennent sur ce forum (je ne citerai pas tous les noms pour ne pas froisser des susceptibilités).

Dans le numéro de décembre 2006 de l'{\bf American Mathematical Monthly} est parue une toute petite note (une page) qui m'intrigue.

Elle est signée d'un certain {\bf Filip Saidak} (que je n'ai pas l'honneur de connaître) et s'intitule "{\it a New Proof of Euclid's Theorem}".

Pour ne pas faire de contresens en traduisant, je vous recopie l'argument in english :

"{\it Today many proofs of Euclid's theorem are known. It may come as a surprise that the following almost trivial argument has not been given before :}

New proof : {\it Let $n>1$ be an arbitrary integer. Since $n$ and $n+1$ are consecutive integers, they must be coprime.
Hence the number $N_2=n(n+1)$ must have at least two different prime factors. Similarly, since the integers $n(n+1)$ and $n(n+1)+1$ are consecutive, and therefore coprime, the number
$$N_3=n(n+1)[n(n+1)+1]$$
must have at least three different prime factors. This process can be continued indefinitely, so the number of primes must be infinite. }

Analysis : {\it the proof just given is conceptually even simpler than the original proof due to Euclid, since it does not use Eudoxus's method of "reductio ad absurdum", proof by contradiction. And unlike most others proofs of the theorem, it does not require [...] Euclid's lemma (that states : if $p$ is a prime and $p|ab$ then either $p|a$ or $p|b$).
Moreover, our proof is constructive, and it gives integers with an arbitrary number of prime factors.}"

Connaissant l'américano-centrisme assez navrant qui sévit de nos jours outre-atlantique, et qui pousse parfois certains auteurs à qualifier de "new" un truc déjà bien connu ailleurs, ma question est simple :

{\it cette démonstration est-elle nouvelle ?}

(Mon impression est que non car il me semble avoir déjà vu ce genre d'argument quelque part (peut-être sur ce forum, d'ailleurs ?), mais, comme je l'ai dit au début, mon ignorance dans le domaine de l'arithmétique ne me permet pas de prendre au sérieux mes propres impressions...)
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
jolie !! (message inutile mais qui me permet de suivre la conversation !)
Utilisateur anonyme
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
And what is Euclid's theorem please ?

&
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
&, lis le titre du topic s'il te plaît..
Utilisateur anonyme
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
OKi Aleg hot smiley

&



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par &.
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
1) la preuve "classique" qu'il existe une infinité de nombres premiers {\bf n'est pas} une preuve pas l'absurde

2) L'argument présenté ci-dessus {\bf est} presque du même jus que la preuve "classique" suivante:

{\it le plus petit diviseur (autre que 1) de $1+(2\times 3\times ..\times n)$ est forcément plus grand que $n$}
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
Bonjour.

Je suis un peu surpris par la partie "analysis". En effet, j'ai toujours pensé qu'Euclide n'a jamais utilisé une preuve par l'absurde. La notion de "l'infinité des nombres premiers" lui est étrangère. Il se contente de prouver (directement, je crois) qu'il n'y a pas un nombre fini de nombres premiers. C'est la rédaction moderne de sa preuve qui en fait une preuve par l'absurde.

Je n'ai jamais rencontré l'argument évoqué, il ne me semble pas "plus simple" que celui d'Euclide (Pour un nombre fini de nombres premiers, le produit de ces nombres plus 1 est soit premier, soit a un diviseur premier. On a donc un nombre premier supplémentaire. La suite est de la même eau que la fin de la preuve de Saidak).

Cordialement
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Soit $A$ une partie de $\N$ telle que $\forall n\in \N\exists p\in A:p\geq n$.

Pensez-vous pouvoir prouver sans utilisation de l'axiome du raisnnement par l'absurde que $A$ est infinie?

A propos du fil: les "fondements" arithmétiques eux, peuvent nécessiter le rpa, par exemple qu'il existe un plus petit diviseur, etc... Mais l'argument principal d raisonnement classique?
Utilisateur anonyme
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Aleg hot smiley

Si je comprends l'idée le fil parle de l'infinité des nombres premiers, je crois qu'on a d'après un théorème dit des nombres premiers (TNP):
$$p_{k}\sim k\log(k)$$
Au voisinage de l'infini, d'où l'infinité des nombres premiers.

mmm?
&
Yop
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
& : c'est peu-être un poil sophistiqué pour démontrer un résultat aussi élémentaire non ?
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
oui, et surtout ça ne répond pas à la question...
Utilisateur anonyme
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Je me demandais comment je peux te provoquer Aleg :) !

&
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
bonjour,
il me semble que j'ai vu quelque part sur l'internet un théorème d'Andrew Granville qui utilise un argument semblable à celui de Filip Saidak, pour prouver qu'il existe une infinité de premiers égaux à 1 modulo 3, et ceci en partant de 2 et 3 comme les premièrs termes d'une suite, comparable à celui de Filip Saidak.

Sans doute, le fait considerer un n quelconque au départ est une "nouveauté".

Il serait intéressant regarder de toutes les preuves de l'infinité de nombres premiers et analyser des arguments utilisés.


Sincèrement,

Galax
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Je suis d'accord avec le premier message de Christophe Chalons (2 février, 21h11) et celui de Gérard : cette preuve est essentiellement un argument à la Euclide, et n'apporte pas grand-chose par rapport à l'originale.

Borde.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par borde.
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Merci pour vos réponses.
En résumé, comme je le pensais au départ, cette preuve n'est pas, dans son esprit, aussi nouvelle que ça..
Utilisateur anonyme
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Salut Aleg hot smiley

&
Chris
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
On peut voir ça ainsi :
On pose $u_0=a$ et $u_{n+1}=u_0...u_{n}+1$.
Les termes de la suite $(u_n)$ sont deux à deux étrangers donc en prenant un facteur premier de chacun on a une infinité de nombres premiers.
C'est bien la construction de Saidak je crois.
Ce procédé consistant à trouver une suite d'entiers deux à deux premiers entre eux est classique (suite des nombres de Fermat, suite extraite de la Fibonacci,...) et fournit à chaque fois une preuve (bien inutile) de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.

[N'oublie pas de cocher la case LaTeX. md]
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Je rajouterais également que :

1. Les méthodes euclidiennes peuvent se généraliser aux nombre premiers $p$ appartenant à certaines progressions arithmétiques $p \equiv a \pmod q$ (voir les nombreux fils à ce sujet), ce que ne semble pas permettre cette méthode-ci.

2. Pédagogiquement et historiquement, la preuve d'Euclide est un apport important dans la formation des élèves (rappelons qu'elle est au programme de la spécialité de TS, et qu'elle en est même une...ROC), et ne saurait être remplacée, à mon avis, par une autre qui n'apporte rien de plus. Autant travailler avec l'originale.

En ce sens, il vaut mieux leur montrer la preuve d'Euler (divergence de la série $\sum_{p} p^{-1}$) qui fut la vraie nouveauté par rapport à Euclide, introduisant la théorie analytique des nombres, et guidant Dirichlet pour démontrer l'infinitude (et la bravitude) de l'ensemble des nombres premiers en progressions arithmétiques.

Borde.
Chris
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
{\it [Christophe Chalons]Soit A une partie de $\N$ telle que $\forall n\in \N\ \exist p\in A : p\geq n$.
Pensez-vous pouvoir prouver sans utilisation de l'axiome du raisonnement par l'absurde que A est infinie ? }
Pour tout $n$, on pose $f(n)=\inf(A\cap[n,+\infty[)$.
Et on définit la suite $(u_n)$ par $u_0\in A$ et $u_{n+1}=f(1+u_n)$.
Cette suite est strictement croissante et formée d'éléments de $A$.
Est-ce que j'utilise un raisonnement par l'absurde ?
gb
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
Comment définis-tu $f(n)$ sans raisonnement par l'absurde ?
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
On sait que pour tout $n, \,\,\, \exists p \in A$ tq $p \geq n$, donc l'ensemble $$A\cap [n, \infty[$$ est non vide, et c'est un sous ensemble de $\N$ donc il admet un minimum.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par michael.
gb
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
Comment montre-t-on qu'un sous-ensemble non vide de $\N$ admet un minimum ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par gb.
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
{\it Soit A une partie de $ \mathbb{N}$ telle que $ \forall n\in \mathbb{N}\ \exist p\in A : p\geq n$.
Pensez-vous pouvoir prouver sans utilisation de l'axiome du raisonnement par l'absurde que A est infinie? }


Puisque la question déchaine les foules.

La réponse est oui. On peut le faire sans raisonnement par l'absurde.

Il suffit d'utiliser l'axiome des choix dépendants.

Bon, cela dit, ce dernier n'est pas plus constructif que le raisonnement par l'absurde. Après, tout dépend aussi de la définition d'"infini", mais avec une définition classique habituelle, il est vain de tenter de prouver contructivement l'infinitude des nombres premiers...



Voyez ce fil pour des précisions : http\lien{//les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?2,272500,272577#msg-272577}
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
bonjour,

Dans le livre History Of The Theory Of Numbers - I de Leonard Eugene Dickson

qui est consultable sur

[www.archive.org]

dans le chapitre XVIII, page 413 et les suivants vous trouverez un paragraphe

intéressant sur l'infinité des nombres premiers

Sincèrement,

Galax

PS j'ai corrigé le lien qui ne marché pas



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par galax.
gb
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
galax,

le lien n'est visiblement pas bon.
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
bonjour gb,

j'ai corrigé le lien qui ne marché pas.

J'espère qu'il va fonctionner maintenant.

Sincèrement,

Galax
SXB
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
Chez moi il ne fonctionne pas.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par SXB.
Re: infinité des nombres premiers
il y a treize années
avatar
bonjour SXB,

Au cas où cliquer sur le lien du dim 4 février 2007 15:34:40 n'ouvre pas la page demandée, copie le lien et colle le dans la fenêtre adresse de ton navigateur

Sincèrement,

Galax
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