infinité des nombres premiers
dans Arithmétique
Bonsoir à tous,
Moi qui suis un béotien en arithmétique, je m'adresse particulièrement aux cadors du domaine, qui interviennent sur ce forum (je ne citerai pas tous les noms pour ne pas froisser des susceptibilités).
Dans le numéro de décembre 2006 de l'{\bf American Mathematical Monthly} est parue une toute petite note (une page) qui m'intrigue.
Elle est signée d'un certain {\bf Filip Saidak} (que je n'ai pas l'honneur de connaître) et s'intitule "{\it a New Proof of Euclid's Theorem}".
Pour ne pas faire de contresens en traduisant, je vous recopie l'argument in english :
"{\it Today many proofs of Euclid's theorem are known. It may come as a surprise that the following almost trivial argument has not been given before :}
New proof : {\it Let $n>1$ be an arbitrary integer. Since $n$ and $n+1$ are consecutive integers, they must be coprime.
Hence the number $N_2=n(n+1)$ must have at least two different prime factors. Similarly, since the integers $n(n+1)$ and $n(n+1)+1$ are consecutive, and therefore coprime, the number
$$N_3=n(n+1)[n(n+1)+1]$$
must have at least three different prime factors. This process can be continued indefinitely, so the number of primes must be infinite. }
Analysis : {\it the proof just given is conceptually even simpler than the original proof due to Euclid, since it does not use Eudoxus's method of "reductio ad absurdum", proof by contradiction. And unlike most others proofs of the theorem, it does not require [...] Euclid's lemma (that states : if $p$ is a prime and $p|ab$ then either $p|a$ or $p|b$).
Moreover, our proof is constructive, and it gives integers with an arbitrary number of prime factors.}"
Connaissant l'américano-centrisme assez navrant qui sévit de nos jours outre-atlantique, et qui pousse parfois certains auteurs à qualifier de "new" un truc déjà bien connu ailleurs, ma question est simple :
{\it cette démonstration est-elle nouvelle ?}
(Mon impression est que non car il me semble avoir déjà vu ce genre d'argument quelque part (peut-être sur ce forum, d'ailleurs ?), mais, comme je l'ai dit au début, mon ignorance dans le domaine de l'arithmétique ne me permet pas de prendre au sérieux mes propres impressions...)
Moi qui suis un béotien en arithmétique, je m'adresse particulièrement aux cadors du domaine, qui interviennent sur ce forum (je ne citerai pas tous les noms pour ne pas froisser des susceptibilités).
Dans le numéro de décembre 2006 de l'{\bf American Mathematical Monthly} est parue une toute petite note (une page) qui m'intrigue.
Elle est signée d'un certain {\bf Filip Saidak} (que je n'ai pas l'honneur de connaître) et s'intitule "{\it a New Proof of Euclid's Theorem}".
Pour ne pas faire de contresens en traduisant, je vous recopie l'argument in english :
"{\it Today many proofs of Euclid's theorem are known. It may come as a surprise that the following almost trivial argument has not been given before :}
New proof : {\it Let $n>1$ be an arbitrary integer. Since $n$ and $n+1$ are consecutive integers, they must be coprime.
Hence the number $N_2=n(n+1)$ must have at least two different prime factors. Similarly, since the integers $n(n+1)$ and $n(n+1)+1$ are consecutive, and therefore coprime, the number
$$N_3=n(n+1)[n(n+1)+1]$$
must have at least three different prime factors. This process can be continued indefinitely, so the number of primes must be infinite. }
Analysis : {\it the proof just given is conceptually even simpler than the original proof due to Euclid, since it does not use Eudoxus's method of "reductio ad absurdum", proof by contradiction. And unlike most others proofs of the theorem, it does not require [...] Euclid's lemma (that states : if $p$ is a prime and $p|ab$ then either $p|a$ or $p|b$).
Moreover, our proof is constructive, and it gives integers with an arbitrary number of prime factors.}"
Connaissant l'américano-centrisme assez navrant qui sévit de nos jours outre-atlantique, et qui pousse parfois certains auteurs à qualifier de "new" un truc déjà bien connu ailleurs, ma question est simple :
{\it cette démonstration est-elle nouvelle ?}
(Mon impression est que non car il me semble avoir déjà vu ce genre d'argument quelque part (peut-être sur ce forum, d'ailleurs ?), mais, comme je l'ai dit au début, mon ignorance dans le domaine de l'arithmétique ne me permet pas de prendre au sérieux mes propres impressions...)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
&
&
2) L'argument présenté ci-dessus {\bf est} presque du même jus que la preuve "classique" suivante:
{\it le plus petit diviseur (autre que 1) de $1+(2\times 3\times ..\times n)$ est forcément plus grand que $n$}
Je suis un peu surpris par la partie "analysis". En effet, j'ai toujours pensé qu'Euclide n'a jamais utilisé une preuve par l'absurde. La notion de "l'infinité des nombres premiers" lui est étrangère. Il se contente de prouver (directement, je crois) qu'il n'y a pas un nombre fini de nombres premiers. C'est la rédaction moderne de sa preuve qui en fait une preuve par l'absurde.
Je n'ai jamais rencontré l'argument évoqué, il ne me semble pas "plus simple" que celui d'Euclide (Pour un nombre fini de nombres premiers, le produit de ces nombres plus 1 est soit premier, soit a un diviseur premier. On a donc un nombre premier supplémentaire. La suite est de la même eau que la fin de la preuve de Saidak).
Cordialement
Pensez-vous pouvoir prouver sans utilisation de l'axiome du raisnnement par l'absurde que $A$ est infinie?
A propos du fil: les "fondements" arithmétiques eux, peuvent nécessiter le rpa, par exemple qu'il existe un plus petit diviseur, etc... Mais l'argument principal d raisonnement classique?
Si je comprends l'idée le fil parle de l'infinité des nombres premiers, je crois qu'on a d'après un théorème dit des nombres premiers (TNP):
$$p_{k}\sim k\log(k)$$
Au voisinage de l'infini, d'où l'infinité des nombres premiers.
mmm?
&
&
il me semble que j'ai vu quelque part sur l'internet un théorème d'Andrew Granville qui utilise un argument semblable à celui de Filip Saidak, pour prouver qu'il existe une infinité de premiers égaux à 1 modulo 3, et ceci en partant de 2 et 3 comme les premièrs termes d'une suite, comparable à celui de Filip Saidak.
Sans doute, le fait considerer un n quelconque au départ est une "nouveauté".
Il serait intéressant regarder de toutes les preuves de l'infinité de nombres premiers et analyser des arguments utilisés.
Sincèrement,
Galax
Borde.
En résumé, comme je le pensais au départ, cette preuve n'est pas, dans son esprit, aussi nouvelle que ça..
&
On pose $u_0=a$ et $u_{n+1}=u_0...u_{n}+1$.
Les termes de la suite $(u_n)$ sont deux à deux étrangers donc en prenant un facteur premier de chacun on a une infinité de nombres premiers.
C'est bien la construction de Saidak je crois.
Ce procédé consistant à trouver une suite d'entiers deux à deux premiers entre eux est classique (suite des nombres de Fermat, suite extraite de la Fibonacci,...) et fournit à chaque fois une preuve (bien inutile) de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.
[N'oublie pas de cocher la case LaTeX. md]
1. Les méthodes euclidiennes peuvent se généraliser aux nombre premiers $p$ appartenant à certaines progressions arithmétiques $p \equiv a \pmod q$ (voir les nombreux fils à ce sujet), ce que ne semble pas permettre cette méthode-ci.
2. Pédagogiquement et historiquement, la preuve d'Euclide est un apport important dans la formation des élèves (rappelons qu'elle est au programme de la spécialité de TS, et qu'elle en est même une...ROC), et ne saurait être remplacée, à mon avis, par une autre qui n'apporte rien de plus. Autant travailler avec l'originale.
En ce sens, il vaut mieux leur montrer la preuve d'Euler (divergence de la série $\sum_{p} p^{-1}$) qui fut la vraie nouveauté par rapport à Euclide, introduisant la théorie analytique des nombres, et guidant Dirichlet pour démontrer l'infinitude (et la bravitude) de l'ensemble des nombres premiers en progressions arithmétiques.
Borde.
Pensez-vous pouvoir prouver sans utilisation de l'axiome du raisonnement par l'absurde que A est infinie ? }
Pour tout $n$, on pose $f(n)=\inf(A\cap[n,+\infty[)$.
Et on définit la suite $(u_n)$ par $u_0\in A$ et $u_{n+1}=f(1+u_n)$.
Cette suite est strictement croissante et formée d'éléments de $A$.
Est-ce que j'utilise un raisonnement par l'absurde ?
Pensez-vous pouvoir prouver sans utilisation de l'axiome du raisonnement par l'absurde que A est infinie? }
Puisque la question déchaine les foules.
La réponse est oui. On peut le faire sans raisonnement par l'absurde.
Il suffit d'utiliser l'axiome des choix dépendants.
Bon, cela dit, ce dernier n'est pas plus constructif que le raisonnement par l'absurde. Après, tout dépend aussi de la définition d'"infini", mais avec une définition classique habituelle, il est vain de tenter de prouver contructivement l'infinitude des nombres premiers...
Voyez ce fil pour des précisions : http\lien{//les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?2,272500,272577#msg-272577}
Dans le livre History Of The Theory Of Numbers - I de Leonard Eugene Dickson
qui est consultable sur
http://www.archive.org/details/HistoryOfTheTheoryOfNumbersI
dans le chapitre XVIII, page 413 et les suivants vous trouverez un paragraphe
intéressant sur l'infinité des nombres premiers
Sincèrement,
Galax
PS j'ai corrigé le lien qui ne marché pas
le lien n'est visiblement pas bon.
j'ai corrigé le lien qui ne marché pas.
J'espère qu'il va fonctionner maintenant.
Sincèrement,
Galax
Au cas où cliquer sur le lien du dim 4 février 2007 15:34:40 n'ouvre pas la page demandée, copie le lien et colle le dans la fenêtre adresse de ton navigateur
Sincèrement,
Galax