idéal dans l'anneau des entiers de Gauss

lemathe3

February 2007 dans Arithmétique

Bonjour à tout le monde
Je suis face à un problème qui me ronge.
On me demande de résoudre l'équation diophantienne $x^3=y^2+z^2$. Pour celà on me propose de considérer l'anneau $\Z$ des entiers de Gauss.
On donne alors un élément $u=a+ib$ avec $a$ et $b$ premiers entre eux.
La première question et celle qui m'embète est de carctériser l'idéal engendré par les éléments $u$ et son conjugué ($a-ib$).
Merci de me soulager.

Réponses

• 

  -Omar-

  February 2007

  Bonjour,
  
  L'anneau ${\mathbb Z}$ est principal. L'idéal engendré par $a+ib$ et $a-ib$ est engendré par le pgcd de ces deux éléments.
  
  Amicalement
  Omar
  
  [La case LaTeX. AD]

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