a²+b²=c²+d^3
dans Arithmétique
Bonjour,
j'aimerais savoir si l'équation diophantienne a²+b²=c²+d^3 admet un nombre fini de solutions ou non (au rang desquelles figure le trivial* 20²+7²=21²+2^3).
Merci d'avance.
*Désolé de cet humour lamentable, mon humeur est aussi sombre, si ce n'est plus, que le ciel de Normandie.
j'aimerais savoir si l'équation diophantienne a²+b²=c²+d^3 admet un nombre fini de solutions ou non (au rang desquelles figure le trivial* 20²+7²=21²+2^3).
Merci d'avance.
*Désolé de cet humour lamentable, mon humeur est aussi sombre, si ce n'est plus, que le ciel de Normandie.
Réponses
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Si d a le droit d'etre nul (?), il y en a une infinité
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Si a=c il y en a une infinité.
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Avec Excel, on peut faire un tableau à double entrée (a et b) en laissant d comme paramètre. Je trouve un grand nombre de solutions, par exemple:
19²+12²=21²+4^3
99²+18²=100²+5^3
20²+8²=11²+7^3 etc. -
On a les solutions triviales:
a=c, b=k^3 et d=k². -
Au passage, bonjour Sylvain
Supposons b et d donnés, de parités différentes. Il existe a tel que:
b²=2a+1+d^3, d'où
a²+b²=(a+1)²+d^3 -
Bonjour Richard !
Donc il y aurait une infinité de solutions si je comprends bien...Merci de votre promptitude (ça se dit ?) mon cher RAJ. -
Pour d donné, il existe au moins une solution. Cela n'assure pas qu'il en existe une infinité.
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Pour d donné, il y a uneinfinité de solutions, of course.
On choisit b de parité différente de celle de d (donc une infinité de solutions).
Pour chaque b, on calcule a tel que b²=2a+1+d^3
On a: a²+b²=(a+1)²+d^3.
Il existe bien d'autres solutions. -
On a été tranquille pendant 15 jours, mais ce soir les problèmes recommencent.
Warning: main(http://www.les-mathematiques.net/visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3): failed to open stream: Connection timed out in /tmp/tpl-default-header-toplevel_stage2-6952562c1b9b4c24e3e941ee602ff603.php on line 4
Warning: main(): Failed opening 'http://www.les-mathematiques.net/visiteurs-2.0/include/new-visitor.inc.php3' for inclusion (include_path='.:/usr/share/php:/usr/share/pear') in /tmp/tpl-default-header-toplevel_stage2-6952562c1b9b4c24e3e941ee602ff603.php on line 4
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /tmp/tpl-default-header-toplevel_stage2-6952562c1b9b4c24e3e941ee602ff603.php:4) in /tmp/tpl-default-header-toplevel_stage2-6952562c1b9b4c24e3e941ee602ff603.php on line 8 -
Si b et d sont pairs, alors b²-d^3 est un multiple de 4:
b²=4a+4+d^3
d'où:
a²+b²=(a+2)²+d^3
Par contre, si a b et d sont impairs tous les trois, je ne vois pas un procédé systématique pour obtenir une solution (exemple: 15²+25²=11²+9^3).
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Bonjour!
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