cubique rationnelle
dans Arithmétique
Bonsoir,
L'équation $37X^3-216Y^3=-27$ a trois solutions rationnelles : $(0;\frac{1}{2})$, $(1;\frac{2}{3})$ et $(9;5)$ ce qui permet de générer d'autres solutions rationnelles en cherchant le troisième point d'intersection de la cubique avec une droite portant deux des solutions.
Je me demandais si on génère ainsi une infinité de solutions ?
Et si on génère ainsi toutes les solutions ?
Enfin si on peut construire une suite définie par récurrence des solutions...
Bref, si quelqu'un avait des références sur ce thème je lui serais reconnaissant
L'équation $37X^3-216Y^3=-27$ a trois solutions rationnelles : $(0;\frac{1}{2})$, $(1;\frac{2}{3})$ et $(9;5)$ ce qui permet de générer d'autres solutions rationnelles en cherchant le troisième point d'intersection de la cubique avec une droite portant deux des solutions.
Je me demandais si on génère ainsi une infinité de solutions ?
Et si on génère ainsi toutes les solutions ?
Enfin si on peut construire une suite définie par récurrence des solutions...
Bref, si quelqu'un avait des références sur ce thème je lui serais reconnaissant
Réponses
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bonsoir, {\Rational points on elliptic curves} de Silverman et Tate (Springer) est un bon début.A demon wind propelled me east of the sun
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Tu engendres un sous groupe abélien. C'est déjà un théorème difficile que ce groupe est de type fini (Weil, thèse). Peut-être dans ce cas particulier, tu peux voir si le sous-groupe engendré par ces trois points est fini ou non.
M.
[Corrigé (Weil) selon ton indication. AD]
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Bonjour!
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