Un exercice de théorie des nombres

bosio frederic0
bosio frederic0
dans Arithmétique
J'ai trouvé dans un journal le problème suivant :
Montrer que si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels non nuls avec $n\sqrt{23}-m > 0$, alors $n\sqrt{23}-m > \frac{2}{m}$.

En faisant les calculs, je trouve l'inégalité plus forte $n\sqrt{23}-m > \frac{3}{m}$.

Pouvez-vous d'une part confirmer et d'autre part me dire s'il y a une methode plus simple pour montrer la première inégalité ?

Réponses

  • jean
    jean
    L'inégalité s'écrit $m < n \sqrt{23}$ d'où $m^2 < 23 n^2 $,
    soit
    $$ (n \sqrt{23} +m) (n \sqrt{23}-m) >0$$
    et, comme il s'agit d'un entier,
    $$ (n \sqrt{23} +m) (n \sqrt{23}-m) \ge 1$$
    On termine en utilisant que $n\sqrt{23}+m < 2m$.

    [Pardon: finalement ce n'est pas ça, car on trouve $1/2m$ comme minorant au lieu de $2/m$]
  • Guego
    Guego
    On a $23n^2 > m^2$. Or, les carrés modulo 23 sont $0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18$. Donc la différence entre $23n^2$ qui est un multiple de 23 et $m^2$, est au moins égale à $23 - 18 = 5$. On a donc :
    $$23n^2 \geq m^2 + 5 > m^2 + 4 + \dfrac{2}{m^2} = (m+\dfrac{2}{m})^2$$
    (la deuxième inéngalité étant vraie uniquement si $m > 2$, mais les cas $m=1$ et $m=2$ se traitent à la main).

    Donc $n\sqrt{23} > m + \dfrac{2}{m}$ et on conclut.
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Effectivement, c'est plus simple que ma preuve, bien que provenant de la meme idée, où je travaillais en fait modulo 24. J'obtiens alors une différence minimale de 7 (les cas plus petits devant être écartés car on peut alors diviser par 4 ou 9).
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Une étude avec Excel des cas jusqu'à n= 35 me pousse à adhérer à la valeur minimale de 7, avec un comportement très régulier (ajustement parabolique parfait du mini en fonction de n, de n =5 à 9, de n=10 à 14 etc.

    Par exemple,le mini y vaut y=-2*n²+20*n-4 pour 5<=n<=9.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    On obtient aussi le minimum de 7 pour n=44 et m=211, pour n=191 et m=916,..
  • galax
    galax
    Bonsoir,

    Que ce passe-t-il si on remplace 23, par un autre entier non carré ?
    Sinon cet exercice me rappelle un peu le Théorème de Liouville
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Liouville_(approximation_diophantienne)

    Sincèrement,
    Galax
  • GeorgesZ2
    GeorgesZ2
    Bonjour,

    Cet exo est relié aux équations de Pell :(*) m^2-a*n^2=b,
    mais pas vraiment au théorème de Liouville.

    Ce dernier donne ici, puisque sqrt(23) est racine du polynôme minimal x^2-23=0, que l'on a :

    |n*sqrt(23)-m|>= 1/[(2*sqrt(23)+1)*n]

    Par contre, pour a =23, Bossio, en utilisant astucieusement les carrés mod 24, a montré que l'équation (*) n'a pas de solutions pour b dans [-6, 0] et en admet pour b= -7 (par exemple pour n=1, m=4).

    Est-ce que notre grand ami Borde ou un autre spécialiste d'arithmétique, a une preuve plus générale d'un résultat de ce type?

    Ce résultat de Bossio entraîne le meilleur résultat pour l'exo du journal (lequel?) :

    si, n,m sont dans N* et n*sqrt(23)-m>0 alors on a

    n*23^(1/2) -m >= (4*23^(1/2)-16)/m

    où 4*23^(1/2)-16= 3.18332609.. (avec égalité, ssi n=1,m=4).

    Enfin, RAJ a donné des n,m pour lesquels 23*n^2-m^2=7 (il y en a une infinité), on les obtient de la façon suivante :

    puisque l'on a 24^2-23*5^2=1 et 4^2-23*1^2= -7, alors n=4*5+24=44 et m=4*24+23*1*5=111 donnent :

    (**) m^2 - 23*n^2=1*(-7)=-7

    et ensuite, de même, puisque l'on a 19^2-23*4^2=-7,

    pour n=19*5+24*4=191 et m=19*24+23*4*5=916, on a (**).

    Amicalement,
    Georges
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