Théorème de Chen

Epsilon0,

Il me semble que je t'ai répondu par mail sur ce problème-là, non ?

Borde.

OK...

Il faut d'abord savoir que le problème évoqué par Epsilon0 est extrêmement délicat, et que l'on aborde ici des mathématiques très techniques.

Les outils utilisés sont essentiellement des méthodes dites {\it de crible}. Voilà les résultats que j'ai à ma connaissance. On note de façon traditionnelle $\omega(m)$ le nombre de facteurs premiers distincts de $m$.

1. {\bf Théorème de Chen} (1973).

{\it Soit $N \geqslant 2$ un entier pair (suffisamment grand). Alors, le nombre de nombres premiers $p \leqslant N$ tels que $\omega(N-p) \leqslant 2$ est : $$\geqslant 0,67C_N \times \frac {N}{(\ln N)^2},$$ où l'on a posé} : $$C_N = \prod_{p \mid N, \, p>2} \frac {p-1}{p-2} \prod_{p>2} \left ( 1 - \frac {1}{(p-1)^2} \right ).$$

Dans les années qui ont suivi, Chen a cherché à améliorer sa constante $0,67$ : il est passé à $0,689$ en 1978, puis à $0,7544$ en 1980.


2. {\bf Une généralisation : théorème de Kan} (1991).

{\it Soient $N$ un entier pair (suffisamment grand) et $r \geqslant 4$ entier. Alors, le nombre de nombres premiers $p \leqslant N$ tels que $\omega(N-p) \leqslant r$ est : $$> \frac {3,1245 C_N}{(r-3)!} \times \frac {N (\ln \ln N)^{r-3}}{(\ln N)^2},$$ où $C_N$ est la même constante que dans le théorème de Chen}.

Borde.