Th. de Dirichlet, cas particuliers

Bonsoir, Gilles

Connaissez vous Le livre de Hardy et Wright (an introduction to the theory of numbers)? Dans le chapitre 2, il y a un paragraphe "Primes in certain arithmetical progessions" On y trouve des preuves élémentaires pour 4n+3, 6n+5, 8n+5.

Bonsoir,

dans le best-seller { \bf Thèmes d'Arithmétique}:
Théorème 3.53 p70 est traité le cas : $qn+1$ avec $q$ premier impair.

bs Écrivait:

---

> --> Gilles, pour rester en France: Tauvel,
> Exercices d'Algèbre Générale et d'Arithmétique,
> exos 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 p378 à 381.

Je cherchais justement hier le nom de ce bouquin (parce que bon dire "un bouquin de Tauvel" reste un peu vague). Merci bs.

Oui, j'ai traité le cas $p \equiv 1 \pmod q$ avec $q$ premier (impair) pour n'utiliser que les polynômes cyclotomiques les plus simples. Cette preuve s'étend aux cas plus généraux $p \equiv 1 \pmod n$, en utilisant les propriétés des polynômes cyclotomiques $\Phi_n(X)$.

A savoir également, même si cela ne répond pas directement à la question posée : il existe (au moins) une preuve élémentaire du th. de Dirichlet, inventée par Shapiro (fin des années 40), qui utilise les propriétés de base des caractères de Dirichlet, mais qui {\bf n'utilise pas} le log complexe, comme dans les preuves habituelles (cf. Davenport). J'ai mis dans mon bouquin les idées générales de la preuve de Shapiro, et on en trouve un schéma assez complet sur le site d'Olivier Ramaré (Université de Lille).

Borde.

Oui, j'ai déjà lu ce papier, mais, contrairement au titre de l'article de Montsky, je ne trouve pas que cette méthode simplifie la méthode de Shapiro. Rappelons que le point d'orgue de la démonstration est de démontrer que $$L(1,\chi) \not = 0$$ pour tout caractère réel non principal de Dirichlet. Ce dernier avait utilisé sa formule du nombre de classes pour un corps quadratique réel, alors que, de nos jours, on utilise plutôt :

soit des arguments analytiques,
soit des prpriétés de convolution des fonctions $L$.

Pour d'autres exemples de démontrations de l'infinité de nombres premiers dans certaines progressions arithmétiques, voir le livre de De Koninck et Mercier : 1001 exercices de théorie classique des nombres, Ellipses, 2004.

Borde.