Commentaires sur A000040, A001359 et A006562 sur l'OEIS
Bonjour
Mes commentaires sur A000040 (nombres premiers), A001359 (nombres premiers jumeaux) et A006562 (balanced primes) viennent d'être publiés sur l'OEIS de Sloane :
%C A000040 There is a unique decomposition of the primes: provided the weight A117078(n) is > 0, we have prime(n) = weight * level + gap, or A000040(n) = A117078(n) * A117563(n) + A001223(n). - Remi Eismann (reismann(AT)free.fr), Feb 16 2007
%C A001359 Primes for which the weight as defined in A117078 is 3 gives this sequence except for the initial 3. - Remi Eismann (reismann(AT)free.fr), Feb 15 2007
%C A006562 Let p(i) denote the i-th prime. If 2 p(n) - p(n+1) is a prime, say p(n-i), then we say that p(n) has level(1,i). Sequence gives primes of level(1,1). - Remi Eismann (reismann(AT)free.fr), Feb 15 2007
Vous pouvez retrouver ces commentaires sur l'OEIS via le lien ci-dessous :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=eismann&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search
Ces trois commentaires sont très importants pour montrer la cohérence de ma classification, construction, vision (utilisez le terme que vous voulez) des nombres premiers.
L'adresse de mon site :
http://reismann.free.fr/classement.php
Je suis preneur de tout commentaire, critique ou suggestion.
Rémi
Mes commentaires sur A000040 (nombres premiers), A001359 (nombres premiers jumeaux) et A006562 (balanced primes) viennent d'être publiés sur l'OEIS de Sloane :
%C A000040 There is a unique decomposition of the primes: provided the weight A117078(n) is > 0, we have prime(n) = weight * level + gap, or A000040(n) = A117078(n) * A117563(n) + A001223(n). - Remi Eismann (reismann(AT)free.fr), Feb 16 2007
%C A001359 Primes for which the weight as defined in A117078 is 3 gives this sequence except for the initial 3. - Remi Eismann (reismann(AT)free.fr), Feb 15 2007
%C A006562 Let p(i) denote the i-th prime. If 2 p(n) - p(n+1) is a prime, say p(n-i), then we say that p(n) has level(1,i). Sequence gives primes of level(1,1). - Remi Eismann (reismann(AT)free.fr), Feb 15 2007
Vous pouvez retrouver ces commentaires sur l'OEIS via le lien ci-dessous :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=eismann&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search
Ces trois commentaires sont très importants pour montrer la cohérence de ma classification, construction, vision (utilisez le terme que vous voulez) des nombres premiers.
L'adresse de mon site :
http://reismann.free.fr/classement.php
Je suis preneur de tout commentaire, critique ou suggestion.
Rémi
Réponses
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J'ai rien compris.
-
Il existe une unique décomposition du nombre premier p(n) :
p(n) = poids * niveau + saut (sauf pour 2, 3 et 7).
Les nombres premiers pour lesquels le poids est égale à 3 sont les plus petits des nombres premiers jumeaux (sans 3 qui est de niveau 0).
Les "balanced primes" sont les nombres premiers de niveau (1,1) mais il existe des nombres premiers de niveau (1,2...i).
Pour les définitions (poids, niveau) :
http://reismann.free.fr/definitions.php
Pour les niveaux (1,i) :
http://reismann.free.fr/niveaux1i.php
Rémi -
Bonjour
Si vous voulez des précisions, merci de me poser des questions, j'y répondrai avec plaisir.
Bonne journée
Rémi -
Je m'incruste très brièvement ici juste pour signaler que la constante des nombres premiers jumeaux (que j'ai vu sur le site, notée $c$) porte sur les nombres premiers $p > 2$.
Borde. -
Merci borde, je ferai la correction dès que possible.
-
Je suis déçu du peu de réponses obtenu. Ce sont quand même des commentaires importants sur des suites importantes (nb premiers, jumeaux...) sur un site sérieux (certains chercheurs l'utilise même comme publication).
Si au moins il y avait des questions.
Bonne journée -
Désolé Rémi
mais j'admets ma complète ignorance et incompétence dans le secteur de l'arthmétique en général et des nombres premiers en particulier.
Je suis sûr que tes résultats méritent au moins une lecture par les meilleurs spécialistes
mais sâche qu'il y a deux choses importantes dans une vie professionneles (dans la recherhche ou aileurs) le savoir-faire et le faire-savoir. De nos jours l'un sans l'autre c'est un peu comme marcher sur une seule jambe c'est possible mais bon y a mieux.
alors ne te décourage pas et continue à chercher des interlocuteurs avec qui tu pourras pleinement discuter de tels sujets
Bon courage
-
Je te conseille soit poster en anglais un message expliquant ta classification (en particulier les définitions sur ton site) sur le groupe modéré sci.math.research
http://groups.google.fr/group/sci.math.research/topics?hl=fr
ou sur la liste NMBRTHRY pour spécialistes de théorie des nombres
http://listserv.nodak.edu/archives/nmbrthry.html
soit d'écrire un petit article (toujours en anglais) et de le soumettre au journal Experimental Mathematics (en lisant bien leur conseils aux auteurs)
http://www.expmath.org/
Il se passe manifestement quelque chose, mais je ne suis pas spécialiste donc je ne peux pas dire si c'est bien connu ou nouveau... En tous cas j'y regarderai de plus près quand j'aurai le temps, ça m'intéresse. -
Bonjour Rémi,
Je viens de regarder.
Peux-tu expliquer pourquoi, $p_n$ et $p_{n+1}=p_n +2$ sont des nombres premiers jumeaux ssi le poids de $p_n$ est égal à 3 (càd $2p_n=p_{n+1} mod 3$), sauf si $n=2, p_2=3$.
Amicalement,
Georges -
Pour TheBridge et Gedeon : merci pour vos encouragements, votre gentillesse et merci pour les liens, je vais voir ce que je peux en faire.
Pour georgesZ : les plus petits des nombres premiers jumeaux sont de la forme 6n-1 (je ne sais pas si c'est démontré). Il est donc normal que le plus petit diviseur de p(n) - g(n) (6n - 3) , supérieur à g(n) soit 3.
Avec cette explication vous voyez toutes mes limites : je ne suis pas mathématicien (j'ai un diplome d'ingénieur en Energétique et je travaille dans l'informatique) et j'ai énormement de mal à formaliser ma construction. C'est d'ailleur pourquoi j'ai appelé mon travail "classification expérimental des nombres premiers". J'ai calculé les suites et j'ai fais des constatations (une des premières est que les plus petits des nombres premiers jumeaux ont un poids de trois).
Rémi -
un lien vers les nombres premiers pour lesquels le poids est égale à 3 :
http://reismann.free.fr/requeteurkg.php
Attention : 3 n'appartient pas à cette suite car 3 est de niveau 0 (le décomposition est impossible) et 5 est classé par niveau (1).
Pour le classement par poids ou par niveau voir :
http://reismann.free.fr/classement.php
Rémi -
Rebonjour Rémi,
Peut-être Borde ou un arithméticien, sait que si, pour $n>2$, on a $p_{(n+1)}-p_{n}=2$ alors on a :
$p(n)=-1 \mod 6$.
En tout cas, Sloane ne le dit pas en A001359. Par contre, il dit que R.Zumkeller a prouvé en 2002 que ces $p_n$ sont les solutions de (il y a une ambiguité sur le $n$) l'équation : $\varphi(n+2)=\sigma(n)$.
Comment définis-tu $i_n$ qui apparait dans ton tableau pour $k_n=3$?
Pourquoi exclues-tu $p_3=5$ qui est pourtant tq. $k_3=3$?
Amitiés,
Georges -
Les nombres premiers sont de la forme poids*niveau+saut donc lorsque poids=3 les nombres premiers sont de la forme :
3*niveau+2 or les niveaux sont impairs niveau=2i-1 => i=(niveau+1)/2 et on retrouve 6i-1.
Sur Mathworld :
"All twin primes except (3, 5) are of the form 6n(-+)1."
mais c'est une affirmation et comme par hasard ça marche pour tous sauf pour le couple (3,5)...
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
J'exclue 5 car je considère qu'il est de niveau 1 et qu'il doit donc être classé par niveau. C'est complexe de faire une classification à deux indices, j'ai donc décidé de classer les nbs premiers par poids lorsqu'ils sont dans la zone 1 et par niveau lorsqu'ils sont dans la zone 2 :
http://reismann.free.fr/classement.php
Content que la discussion soit lancée.
A+
Rémi -
Bonsoir Rémi,
Ton $i_n$ est-il le niveau $(1,i_n)$ de $p_n$?
As-tu défini des niveau $(i,j)$? Sinon que signifie ce 1 dans niveau $(1,i)$?
Mathworld affirme. Donc cela doit être démontré. Je vais demander une confirmation à Borde.
As-tu constaté d'autres résultats possibles grâce à ta décomposition des nombres premiers?
Amitiés,
Georges -
Attention le i de la page "Classement par poids" est différent de celui des nievaux (1,i). C'est une bonne remarque et pour éviter des confusions, je vais modifier la notation.
Les niveaux (1,i) sont très particuliers :
Si pour p(n), p(n) - g(n) = p(n-i) alors p(n) est de niveau(1,i).
Par exemple p(16)=53 est de niveau (1,1) (c'est le deuxième des balanced primes)
p(16) = 47 * 1 + 6 (poids=47 et niveau =1)
p(17) - p(16) = p(16) - p(15) = 6
p(19517160)-p(19517159)=p(19517159)-p(19517159-17),
p(19517160)-p(19517159)=p(19517159)-p(19517142),
364058839 - 364058659 = 364058659 - 364058479=180=6*30,
p(19517159) a un niveau 1,
p(19517159)= 364058659 a un niveau(1,17).
C'est le plus grand que je connaisse.
On peut facilement conjecturer que i tends vers l'infini.
Pour plus d'infos :
http://reismann.free.fr/niveaux1i.php
et sur l'OEIS :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=eismann+let&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search
Les résultats principaux sont :
2, 3 et 7 ne peuvent pas être décomposés, ils sont de niveau 0(conjecture : ce sont les seuls).
les plus petits des nombres premiers jumeaux ont un poids de 3 (sauf p(2)=3 qui est de niveau 0).
les niveaux (1,i) avec en particulier balanced primes = niveau (1,1).
Vous pouvez aussi faire une recherche sur la page "Classsement par poids" en choisissant poids = 5 (saut = 4), ils sont tous de la forme 10n-1, c'est un classement par forme.
Voila pour les principaux résultats.
Merci georgesZ pour ton interet.
Rémi -
Mis à part 2 et 3, les nombres premiers sont des 6n+1 ou des 6n-1 (les 6n+3 sont divisibles par 3 et les autres sont pairs).
Si p(n)=6n+1, alors p(n)+2 est un 6n+3, donc non premier . -
Bonsoir RAJ
Tu as raison, c'est clair!
Amitiés,
Georges -
Bonjour
Effectivement la démo de Richard est limpide. Il est donc tout aussi trivial de démontrer que les plus petits des nombres premiers jumeaux (sauf 3) ont un poids de 3. Je n'ai fait aucune démonstration sur mon site, c'est juste une présentation des résultats numériques (classification expérimentale), je laisse les démos aux personnes compétentes (comme Borde ou Richard...).
Je voudrais revenir sur un point important de la classification :
p(n) = poids*niveau + saut = poids*niveau + p(n+1) - p(n)
Le nombre premier p(n+1) est contenu dans p(n) ou la forme de p(n) va déterminer p(n+1).
Attention je ne propose pas de formule magique, pour obtenir la décomposition de p(n), il faut p(n+1).
La formule magique serait d'avoir la décomposition sans p(n+1) mais c'est pas pour de suite (jamais peut-être...).
Georges me demandait quels étaient les résultats. Le principal est qu'une classification des nombres premiers qui créée des ensembles cohérents (avec des propriétés comme les formes) est possible et tout est résumé dans les graphs ln,ln dont celui-ci :
http://reismann.free.fr/Log_L-Log_K_3000000-R.html
J'ai aussi appliqué le décomposition au entiers naturels (le saut=1) et voici le graph obtenu :
http://reismann.free.fr/Graph_Entiers_1000000-R.html
Les poids des nombres de niveau 1 sont les nombres premiers. C'est une belle représentation du crible d'Eratosthène.
Téléchargez le fichier de 50000 termes, insérez le dans un tableur, appliquez des filtres auto et faites des classements par poids, par niveaux et par poids+saut. Pour comprendre le mieux est de manipuler.
En espérant que ce post puissent alerter des mathématiciens professionnels, je vous souhaite une bonne journée.
Rémi -
Bonjour a tous,
pour pouvoir traiter les sequences qui ont ete presentees avec les outils de la théorie analytique des nombres, il faudrait etablir une généralisation aux nombres composés. Serait-ce possible? On commencerait avec les nombres ayant deux facteurs premiers, bien sur en cherchant des fonctions multiplicatives.
Amicalement,
Marko -
Bonjour Marko
Je ne suis pas sur d'avoir bien compris la remarque.
Mais si tu demandes si la décomposition en poids*niveau+saut peut être appliquée à d'autres ensembles, la réponse est oui.
Je l'ai appliquée aux entiers naturels (crible d'Eratosthène), aux nombres pairs et impaires et bien sur aux nombres premiers. Donc l'appliquer sur les nombres ayant deux facteurs premiers est possible.
Amicalement
Rémi -
Bonjour Remi,
je n'ai toujours pas tout lu/compris. En utilisant la notation de l'article de M. Steinberger, quelle serait la relation entre les valeurs de omega(p q), omega(p), omega(q), pour p, q, deux nombres premiers? De même pour omega(p q r) etc.
Amicalement,
Marko -
"quelle serait la relation entre les valeurs de omega(p q), omega(p), omega(q), pour p, q, deux nombres premiers? De même pour omega(p q r) etc."
Je ne sais pas, tu me pose une colle. Je vais y réfléchir.
En tout cas voici les résultats sur les nombres ayant deux facteurs premiers < 100 (A006881 : Numbers that are the product of two distinct primes.) :
n;f2(n);gap;f2-gap;poids;niveau
1;6;4;2;0;0
2;10;4;6;6;1
3;14;1;13;13;1
4;15;6;9;9;1
5;21;1;20;2;10
6;22;4;18;6;3
7;26;7;19;19;1
8;33;1;32;2;16
9;34;1;33;3;11
10;35;3;32;4;8
11;38;1;37;37;1
12;39;7;32;8;4
13;46;5;41;41;1
14;51;4;47;47;1
15;55;2;53;53;1
16;57;1;56;2;28
17;58;4;54;6;9
18;62;3;59;59;1
19;65;4;61;61;1
20;69;5;64;8;8
21;74;3;71;71;1
22;77;5;72;6;12
23;82;3;79;79;1
24;85;1;84;2;42
25;86;1;85;5;17
26;87;4;83;83;1
27;91;2;89;89;1
28;93;1;92;2;46
29;94;1;93;3;31
30;95;11;84;21;4
31;106;;;;
Rapidement fait à la mano sous le meilleur produit de Billou...
Rémi -
La décomposition dépend de l'ensemble sur lequel on travaille. Par exemple si on travaille sur les entiers naturels, les poids seront premiers, sur les nombres premiers les poids sont impairs et sur les nombres ayant deux facteurs premiers, les poids appartiennent aux entiers naturels.
Je ne suis donc pas sûr qu'il existe une relation entre le poids de p et le poids de p*q avec p, q premiers.
J'ai mis à jour le site avec un programme en assembleur donnant la décomposition du nombre premier entré en argument. Ce programme a été réalisé par Fabien Sibenaler et tourne sous windows, il a été testé jusqu'à 948895995818594437 en 4622 sec.
Le .zip contient la source (.asm), l'exécutable et un fichier read-me.
Vous pouvez le récupérer sur la page téléchargements de mon site :
http://reismann.free.fr/telechargements.php
ou directement via ce lien:
http://reismann.free.fr/download/class_asm.zip
Rémi -
Bonjour
J'ai mis à jour mon site avec un programme en assembleur donnant la décomposition en poids*niveau+saut du nombre premier entré en argument. Ce programme a été réalisé par Fabien Sibenaler et tourne sous windows, il a été testé jusqu'à 948895995818594437 en 4622 sec.
Le .zip contient la source (.asm), l'exécutable et un fichier read-me.
Vous pouvez le récupérer sur la page téléchargements de mon site :
[reismann.free.fr]
ou directement via ce lien:
[reismann.free.fr]
Rémi -
oups une p'tite erreur sur les liens :
page téléchargements :
http://reismann.free.fr/telechargements.php
accès direct :
http://reismann.free.fr/download/class_asm.zip
Rémi -
Rémi, je n'y pense que maintenant mais est-ce que ta classification dit quelque chose de particulier pour les nombres premiers "réguliers" (ou, ce qui revient au même,pour ceux qui ne sont pas réguliers), i.e. est-ce que la strucutre de l'un de ces deux ensemble est facile à comprendre dans ton approche?, cf
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007703
Si oui tu vas forcément intéresser du monde. Regarde également ce que ça donne pour les progressions arithémtiques de premiers, cf la deuxième page de l'article suivant pour une liste des premières d'entre elles
http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/PrimesICM.pdf -
J'ai regardé rapidement mais je n'ai pas trouvé de relation entre les nombres premiers "réguliers" et ma classification. Je vais continuer à chercher.
Concernant les progressions arithémtiques, les nombres premiers de niveau 1 jouent un role. Exemple :
n p(n) g poids niveau
13 41 2 3 13
14 43 4 13 3
15 47 6 41 1
16 53 6 47 1
17 59 2 3 19
p(15)=47 est de niveau (1,2) et p(16)=47 est de niveau (1,1) et on a
41+6=47
47+6=53
53+6=59
on a donc une progression de la forme 41+6n pour n=0..3.
Rémi
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