équivalents et dL

lst1 · February 2007

Bonjur,
Je n'arrive pas à répondre à la questio suivante posée en TD:

montrer que si, au voisinage de $0$, $h(x)=\sin(x)+x^2+o(x^2)$ alors, au voisinage de $0$ $h(x)=x+x^2+o(x^2)$, en utilisant les équivalents classiques.

Dans mon cours il y a que $\sin(x)$ équivalent à $x$ au voisnage de $0$ mais pas l'égalité suivante $\sin(x)=x+o(x^2)$ qui m'arrangerait, et que j'i vue dans un livre de prépa 1. (dans le cours j'ai seulement $\sin(x)=x+o(x)$.
Comment faire?

borde · February 2007

Simplement aller un peu plus loin dans le DL : au voisinage de $0$, on a par Taylor-Young $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x + o(x^2).$$

Borde.

Aleg · February 2007

a priori, avec la {\bf seule égalité} $\sin x=x+o(x)$, on ne peut pas en déduire que $\sin x+x^2+o(x^2)=x+x^2+o(x^2)$, car, théoriquement, dans le $o(x)$ de l'égalité d'hypothèse pourrait se cacher un terme sournois en $x^2$..

Bien entendu, on sait que ça n'est pas le cas et, tu as raison, on a bien en fait l'égalité {\bf plus précise} $\sin x=x+o(x^2)$, qui fournit la conclusion.

Maintenant, si tu as traité en cours les développements limités, tu dois savoir qu'une fonction impaire (comme sinus) n'a, dans la partie régulière (=polynomiale) de son dl (en 0, bien entendu) que des monômes d'ordre impair. Donc $\sin x=x+o(x^2)$.
Autre possibilité : par itération de la règle de l'Hospital, montrer que
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2}=0$$
ce qui signifie que $\sin x-x=o(x^2)$.

gilles benson · February 2007

hum pour sinus, dire que par parité il n'y a pas de terme en $x^2$ arrange les choses sans dommage.

Aleg · February 2007

c'est pas ce que j'ai dit ?

lst1 · February 2007

Merci à tous,
Je commence à y voir un peu + clair dans ces histoires de DLs et d'équivalents... c'est pas facile!
J'aurai sans doute d'autres question à vous poser di'ci peu... merci!

équivalents et dL

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 21