fonction de Moëbius

Un bon article sur ce sujet est le suivant : \lien {http://www.dms.umontreal.ca/\~{}andrew/PDF/MultAPs.pdf}

D'autre part, mentionnons que l'on contourne parfois l'usuelle difficulté sur ce sujet (ie les termes d'erreur et les constantes impliquées dépendent de $q$) par la version suivante du théorème de Barban-Davenport-Halberstam :

{\it Soit $q \geqslant 1$ entier. Pour tout réel $A> 0$, il existe un réel $B = B(A)$ tel que} : $$\sum_{q \leqslant x^{1/2} (\ln x)^{-B}} \max_{a, \, (a,q) =1} \left | \sum_{n \leqslant x, \, n\equiv a \pmod q} \mu(n) \right | \ll \frac {x}{(\ln x)^A}.$$

Borde.

Bonsoir Alpha-de-epsilon,

Tout d'abord, je voudrais rectifier : il s'agit d'un avatar du théorème de Bombieri-Vinogradov, et non de celui de Barban-Davenport-Halberstam. Les deux résultats sont sensiblement de même nature, mais disons que le premier s'occupe des "petits" modules, alors que le second s'occupe des grands.

Pour les lecteurs intéressés, rappelons ici les énoncés de ces deux (très) grands théorèmes. Je suppose connue la notation (traditionnelle en théorie analytique des nombres) $\psi(x;q,a)$ avec $\mbox {pgcd}(a,q) = 1$.

{\bf Th 1} (Bombieri-Vinogradov, 1965). Pour tout réel $A \geqslant 0$, il existe une constante $B = B(A) > 0$, telle que : $$\sum_{q \leqslant x^{1/2} (\ln x)^{-B}} \max_{a, \, (a,q) = 1} \left | \psi(x;q,a) - \frac {x}{\varphi(q)} \right | \ll \frac {x}{(\ln x)^A}.$$

Ce résultat est très important : il stipule que, {\bf en moyenne}, GRH est vraie. L'exposant $1/2$ dans la somme extérieure n'a toujours pas été amélioré, d'où les nombreuses conjectures à son sujet (Elliott-Halberstam, Montgomery).

Si l'on autorise également une moyenne sur les classes résiduelles $a \pmod q$, alors l'exposant peut-être amélioré : c'est le théorème de Barban-Davenport-Halberstam.

{\bf Th 2} (Barban-Davenport-Halberstam, 1966). Pour tout $A > 0$, il existe une constante $B = B(A) > 0$ telle que : $$\sum_{q \leqslant x (\ln x)^{-B}}
\sum_{a \pmod q, \, (a,q) = 1} \left ( \psi(x;q,a) - \frac {x}{\varphi(q)} \right )^2 \ll \frac {x^2}{(\ln x)^A}.$$

Borde.

Je répondrai plus tard à cette question (mais, d'ici là, quelqu'un d'autre aura certainement répondu).

Je reviens ici à la question initiale, intéressante, et pour laquelle je me suis amusé, tout à l'heure, à essayer d'obtenir une majoration en $o(x)$.

Dans la suite, je note $A > 0$ quelconque, $q > 2$ entier impair, et $x$ est un réel suffisamment grand pour vérifier l'hypothèse (H) suivante : $$x \geqslant c_0 \frac {(\ln x)^{6A}}{(\ln \ln q)^6} \exp \left ( \frac{6 \sqrt {\ln q}}{\ln \ln q} \right ),$$ avec $c_0 > 0$ constante. La notation $d \mid m^{\infty}$ signifie que tout diviseur premier de $d$ est un diviseur premier de $m$. On note $1_{m}^{\infty}$ la fonction indicatrice de l'ensemble des entiers $d$ tels que $d \mid m^{\infty}$. Enfin, je rappelle que toute somme ou tout produit indicé par $p$ ne porte uniquement que sur les nombres premiers.

Je vais avoir besoin des résultats intermédiaires suivants :


{\bf Lemme 1}. {\it Si $\chi$ est un caractère primitif modulo $m > 2$, on a} : $$\sum_{n \leqslant x} \mu(n) \chi(n) \ll \frac {m^{1/2} x}{(\ln e x)^A}.$$ {\it La constante impliquée dans le terme d'erreur ne dépend que de} $A$.


{\it Preuve}. Voir le livre de {\bf Kowalski & Iwaniec}, {\it Analytic Number Theory}, AMS 53 (2004), Th. 5.29 page 124.


{\bf Lemme 2}. {\it Si $\chi$ est un caractère primitif modulo $m > 2$, et si $x$ vérifie l'hypothèse} (H), {\it alors on a} : $$\sum_{n \leqslant x, \, (n,m) = 1} \mu(n)\chi(n) \ll \frac {m^{1/2} x}{(\ln x)^A} \ln \ln m.$$


{\it Preuve}. On utilise le fait que $(\mu \ast 1_{m}^{\infty})(n) = \mu(n)$ si $(n,m) = 1$ et $0$ sinon (avec $\ast$ désignant le produit de convolution de Dirichlet), ce qui permet d'écrire : $$\sum_{n \leqslant x, \, (n,m) = 1} \mu(n)\chi(n) = \sum_{n \leqslant x} \chi(n) \sum_{d \mid n} \mu(n/d) 1_{m}^{\infty} (d) = \sum_{d \leqslant x, \, d \mid m^{\infty}} \chi(d) \sum_{k \leqslant x/d} \mu(d) \chi(d).$$ Le lemme 1 majore la somme intérieure, et l'on obtient : $$\sum_{n \leqslant x, \, (n,m) = 1} \mu(n)\chi(n) \ll m^{1/2} x \sum_{d \leqslant x, \, d \mid m^{\infty}} \frac {1}{d (\ln (ex/d))^A}.$$ On découpe la somme en $2$ à $\sqrt x$ et on majore la première en utilisant la croissance du $1/ (\ln (ex/d))^A$ : $$\sum_{n \leqslant x, \, (n,m) = 1} \mu(n)\chi(n) \ll \frac {m^{1/2} x}{(\ln x)^A} \sum_{d \mid m^{\infty}} \frac {1}{d} + m^{1/2} x^{1 - \alpha/2}} \sum_{d \mid m^{\infty}} \frac {1}{d^{1- \alpha}},$$ où $0 < \alpha < 1$ et où, dans la seconde somme, l'on a utilisé le fait que, si $d > \sqrt {x}$, alors $1/d < x^{-\alpha/2}d^{\alpha - 1}$. On prend $\alpha = 1/3$ pour obtenir : $$\sum_{n \leqslant x, \, (n,m) = 1} \mu(n)\chi(n) \ll \frac {m^{1/2} x}{(\ln x)^A} \frac {m}{\varphi(m)} + m^{1/2} x^{5/6} \prod_{p \mid m} \left ( 1 + \frac {1}{\sqrt p} \right ).$$ Je termine cette preuve en signalant seulement qu'il est connu que $\displaystyle {\frac {m}{\varphi(m)} \ll \ln \ln m}$, que l'on peut montrer aisément que le produit ci-dessus est en $\displaystyle {\ll \exp \left ( \frac {\sqrt {\ln m}}{\ln \ln m}} \right )$, et que donc, sous l'hypothèse (H), le premier terme ci-dessus domine le second (voilà la raison d'être de cette hypothèse). CQFD


On va pouvoir maintenant estimer la somme : $$M(x;q,a) = \sum_{n \leqslant x, \, n \equiv a \pmod q} \mu(n)$$ où, bien sûr, $(a,q) = 1$.


On somme sur les caractères primitifs, donc : $$|M(x;q,a)| = \frac {1}{\varphi(q)} \left | \sum_{d \mid q} \sum_{\chi^{*} \pmod d} \overline {\chi}(a) \sum_{n \leqslant x, \, (n,d) = 1} \mu(n) \chi(n) \right |$$ où l'astérisque indique une sommation sur les caractères primitifs. Le lemme 2 majore la somme intérieure, ce qui donne : $$|M(x;q,a)| \ll \frac {x}{\varphi(q) (\ln x)^A} \sum_{d \mid q} (\varphi \ast \mu)(d) \sqrt {d} \ln \ln d \ll \frac {x}{(\ln x)^A} \frac {\ln \ln q}{\varphi(q)} \sum_{d \mid q} \sqrt {d} (\varphi \ast \mu)(d).$$ Il faudrait estimer cette somme pour bien faire, mais je fatigue un peu, donc on peut énoncer :


{\bf Th}. {\it Soient $A >0$ réel, $q > 2$ entier impair et $x$ réel vérifiant} (H). {\it Alors on a} (sauf erreur...) : $$\left | \sum_{n \leqslant x, \, n \equiv a \pmod q} \mu(n) \right | \ll \frac {x}{(\ln x)^A} \frac {\ln \ln q}{\varphi(q)} \sum_{d \mid q} \sqrt {d} (\varphi \ast \mu)(d).$$


Borde.

J'ai des remarques si vou permetez :
- Sur Barban-Davenport-Halberstam Ona
$$\sum_{a \pmod q} \left ( \psi(x;q,a) - \frac {x}{\varphi(q)} \right )^2 \ll \frac {x^2}{(\ln x)^A},$$

- Le théorème "avatar du théorème de Bombieri-Vinogradov":
$$\sum_{q \leqslant x^{1/2} (\ln x)^{-B}} \max_{a, \, (a,q) =1} \left | \sum_{n \leqslant x, \, n\equiv a \pmod q} \mu(n) \right | \ll \frac {x}{(\ln x)^A}.$$

N'est pas valable ! , sauf si tu a une preuve ou une reference serieuse .

Amicalement .

Le livre : Un cours de théorie analytique des nombres d' Emmanuel Kowalski ,
est il la traduction de : Iwaniec & Kowalski, Analytic Number Theory,

Merci

Voila :
Titre : Un cours de théorie analytique des nombres
Auteur : Emmanuel Kowalski
Paru le : 19/01/2006
Editeur : SMF
Isbn : 2-85629-161-9 / Ean 13 : 9782856291610

http://www.decitre.fr/livres/fiche.aspx?sid=0x00000001c9ec5d58&code-produit=9782856291610

SVP que dire de $$\sum_{\substack{n \leqslant x }} \mu(n) k_n $$
avec $k_n$ entre 0 et 1.

Merci infiniment.
SVP des references .

Excuse moi il y en beaucoup sur le net c'est lequel? et merci