Identité de Bezout

harboushe · March 2007

Bonjour à tous
J'ai démontré que le pgcd de a=2n+1 et b=2n+5 est 1 en supposant leur pgcd est d : d | 2n+5 et d | 2n+1 alors d | [2n+5-(2n+1)] càd d | 4 alors d = 1 ou 2 ou 4
Mais comme 2n+1 est impair on a nécessairement d = 1.

Ma question est la suivante : comment trouver u, v dans Z tels que au+bv=1. en identifiant 2n(u+v)+u+5v=1, je trouve que u=-1/4 et v=1/4 qui ne sont pas dans Z !!!
pourquoi ?
Merci à toute aide

bs · March 2007

Bonsoir,

pour n=1, 3x(3)-1x(8)=1
pour n=2, 2x(5)-1x(9)=1
pour n=3, 2x(11)-3x(7)=1
pour n=4, 3x(9)-2x(13)=1
........................

peut-on généraliser?

harboushe · March 2007

bonsoir,
Si on peut généraliser alors u et v dependent de n et donc j'ai pas le droit de faire l'identification précédente càd je n'ai pas le droit de dire u+v=0 et u+5v=1.

la généralisation me parait très difficile, mais ça doit exister.

SadYear · March 2007

Bonsoir,

Dans le cas où $n = 2k$ alors :
$(4k+5) = (4k+1) \times 1 + 4$
$(4k+1) = 4 \times k + 1$
D'où, en remontant ces divisions euclidiennes : $1 = (1+k)(4k+1) - k(4k+5)$

Dans le cas où $n = 2k+1$ alors :
$(4k+7) = (4k+3) \times 1 + 4$
$(4k+3) = 4 \times k + 3$
$4 = 3 \times 1 + 1$
D'où, en remontant ces divisions euclidiennes : $1 = (1+k)(4k+7) - (k+2)(4k+3)$

harboushe · March 2007

merci beaucoup sadyear idem pour bs
amitiés

Identité de Bezout

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 9