discriminant et congruence
dans Arithmétique
Bonjour,
Ceci est un exercice de terminale :
Résoudre dans $\mathbb{Z}/71\mathbb{Z}$ l'équation $16x²-8x-3=0$
On résout l'équation dans $\mathbb{R}$ et on factorise l'expression sous la forme $(4x-3)(4x+1)$ et on trouve ensuite comme solution $53$ et $54$ modulo $71$.
Il me semble que ce qui fait marcher la chose est que $71$ est premier, donc la décomposition en facteur est unique.
Mes questions:
Le fait que $71$ soit premier est-il important ? Comment justifier que la décomposition est unique au niveau Terminale ?
Ceci est un exercice de terminale :
Résoudre dans $\mathbb{Z}/71\mathbb{Z}$ l'équation $16x²-8x-3=0$
On résout l'équation dans $\mathbb{R}$ et on factorise l'expression sous la forme $(4x-3)(4x+1)$ et on trouve ensuite comme solution $53$ et $54$ modulo $71$.
Il me semble que ce qui fait marcher la chose est que $71$ est premier, donc la décomposition en facteur est unique.
Mes questions:
Le fait que $71$ soit premier est-il important ? Comment justifier que la décomposition est unique au niveau Terminale ?
Réponses
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On a simplement besoin de savoir que si xy=0 modulo p alors x=0 modulo p ou y=0 modulo p (autrement dit, Z/pZ est intègre...). Cela se démontre, c'est le lemme de Gauss je crois. Ensuite, on écrit :
16x^2-8x-3=0 ssi (4x-3)(4x+1)=0 ssi (4x=3 ou 4x=-1)
(avec des "modulo p" partout). Et on termine facilement ...
(bien sûr, la factorisation peut sembler miraculeuse, sauf si on commencer par le cas réel, comme vous l'avez dit) -
Je crois que tu as de la chance avec ta résolution dans R. A priori ça ne marchera pas tout le temps.
71 est premier donc Z/71Z est un corps, donc on connaît les formules pour résoudre les trinômes du second degré sur un corps commutatif: tu calcules le discriminant, et si c'est un carré dans Z/71Z tu as les formules classiques.
De plus, tout polynôme sur un corps commutatif se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs irréductibles, ce qui justifie peut-être aussi l'importance de 71.
Par contre, comment justifier la factorisation de ce polynôme dans Z/71Z en terminale, je te dirais qu'on est pas sensés voir de telles équations en terminale. Sauf peut-être dans le cas particulier que tu cites, qui est très particulier car ton polynôme se factorise dans Z[X] donc a fortiori dans Z/71Z -
Je suis de ton avis Toto.le.zero, l'équation marche bien parce qu'elle est comme elle est (le 16 qui se distribue sur les deux facteurs) . Le fait que 71 soit premier permet d'avoir l'unicité de la décompostion.
PB: J'avais pensé au théorème de Gauss, mais je ne vois pas bien comment le mettre en oeuvre dans ce cas(rappel théorème de Gauss: si a est premier avec b et si a divise bc, alors a divise c). -
En terminale, la notation $\Z /71 \Z$ est hors-programme...La notion même d'anneau étant hors-programme.
En revanche, l'équation pourrait être posée sous la forme : $16x^2 - 8x -3 \equiv 0 \pmod {71}$.
De plus, le fait que $71$ est premier est crucial, ici, puisqu'il permet d'utiliser le {\it lemme d'Euclide} (et non celui de Gauss), parfaitement au programme, lui.
Ainsi, l'élève de TS spécialité pourrait rédiger comme suit :
Soit $x$ une solution. On a donc $71 \mid (4x-3)(4x+1)$, et comme $71$ est premier, cela implique que $71 \mid (4x-3)$ ou $71 \mid (4x + 1)$ d'après le lemme d'Euclide. Comme $4 \times 18 = 72 = 1 + 71$, l'équation $4x \equiv 1 \pmod {71}$ a pour solution $x \equiv 18 \pmod {71}$, et, par suite, l'équation $4x \equiv 3 \pmod {71}$ a pour solution $x \equiv 18 \times 3 \equiv 54 \pmod {71}$, et l'équation $4x \equiv - 1 \pmod {71}$ a pour solution $x \equiv -18 \equiv 54 \pmod {71}$. Réciproquement, on vérifie que $x \equiv 53 \pmod {71}$ et $x \equiv 54 \pmod {71}$ sont bien solutions de départ.
Borde. -
Merci Borde.
Ce sont les éclaircissements que je souhaitais. N'enseignant pas au niveau terminale S, je ne connais pas bien l'exigible en arithmétique (d'où ma notation $\mathbb{Z}/71{Z}$ ).
L'occasion m'est donnée de te féliciter pour ton excellent livre dans lequel je n'ai pas le temps de me plonger comme je le voudrais. -
Merci pour tes encouragements, jeroM...
Par ailleurs, le programme de TS spécialité correspond grosso modo aux chapitres 2 et 3 de ce livre (sans le théorème chinois proprement dit, bien qu'il fût tombé au bac 2006...).
Borde. -
bonjour, on peut aussi via Bezout écrire que tout entier non divisible par $71$ admet un inverse modulo $71$.A demon wind propelled me east of the sun
-
La notion d'élément inversible est également hors-programme au lycée.
Borde. -
ce qui n'interdit pas de résoudre ax congru à 1 modulo 71 si on veut couper les cheveux en 71 ce que tu fais pour a = 4, Borde, si j'ai bien lu.
A demon wind propelled me east of the sun -
Oui, bien évidemment...Mon message ci-dessus était surtout destiné à JeroM, qui ne connaît pas les dernières modalités des programmes.
Borde.
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