Idéal .. [L2]
dans Arithmétique
Bonjour ,
Voici un exo sympathique ... dans lequel je n'ai pas compris grand chose parce que je trouve qu'il y a trop de notations pour rien ... en fait du moins pour moi ...
voyez plutôt : (je poste question par question) ..
On considère l'ordre sur $\N \cup \{-\infty\}$ donnée par : $-\infty < 0< 1< 2 \ldots$
Un anneau euclidien est un anneau intègre $A$ équipé d'une application $d : A \rightarrow \N \cap \{-\infty\}$ tel que :
$ \forall a, b \in A\setminus \{0\},\ \exists\, q, r\in A : a=b.q +r$ avec $d(r)< d(b)$
On définit $ \mu_J = \min\limits_{x\in J \setminus \{0\} } d(x)$ pour un idéal $J \subseteq A$ non nul.
Soit $J$ un idéal non nul, $x\in J$, montrer que $d(x)=\mu_J$ implique que $J= Ax$.
Est-ce que quelqu'un peut (uniquement) m'expliquer l'énoncé pour que je puisse voir si je peux arriver à le faire svp ?
Merci d'avance !
P.S: Désolée pour le Latex .. je ne sais pas faire ici
[Soit tu écris uniquement en LaTeX, soit tu utilises les bannières BBcode. Les deux en même temps, ça ne marche pas. AD]
Voici un exo sympathique ... dans lequel je n'ai pas compris grand chose parce que je trouve qu'il y a trop de notations pour rien ... en fait du moins pour moi ...
voyez plutôt : (je poste question par question) ..
On considère l'ordre sur $\N \cup \{-\infty\}$ donnée par : $-\infty < 0< 1< 2 \ldots$
Un anneau euclidien est un anneau intègre $A$ équipé d'une application $d : A \rightarrow \N \cap \{-\infty\}$ tel que :
$ \forall a, b \in A\setminus \{0\},\ \exists\, q, r\in A : a=b.q +r$ avec $d(r)< d(b)$
On définit $ \mu_J = \min\limits_{x\in J \setminus \{0\} } d(x)$ pour un idéal $J \subseteq A$ non nul.
Soit $J$ un idéal non nul, $x\in J$, montrer que $d(x)=\mu_J$ implique que $J= Ax$.
Est-ce que quelqu'un peut (uniquement) m'expliquer l'énoncé pour que je puisse voir si je peux arriver à le faire svp ?
Merci d'avance !
P.S: Désolée pour le Latex .. je ne sais pas faire ici
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Réponses
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Oula !!!!!! le revoila l'énoncé ..
On considère l'ordre sur N U {-[tex]\Large \infty[/tex]} donnée par : -[tex]\Large \infty[/tex]<0<1<2 ... un anneau euclidien est un anneau intègre A équipé d'une application d: A -> U {-[tex]\Large \infty[/tex]) tel que :
[tex]\Large \foral a \in A privé de 0 , \foral b \in A\{0}, \exists q, r\in A : a=b.q +r[/tex] avec [tex]\Large d(r)<d(b)[/tex]
on définit [tex]\Large \mu_J := min_{x\in J- (0)} d(x)[/tex]
Pour un idéal [tex]\Large J \subseteq A[/tex] non nul .
Soit J un idéal non nul, x element de J montrer que d(x)= implique que J= Ax . -
(si j'ai bien comrpris), il s'agit d'une généralisation du résultat suivant : soit $I$ un idéal non nul de $\bf Z$. Soit $x\in I\setminus\{0\}$ tel que $|x|=\min \{|y|,\; y\in I\setminus\{0\}\}$. Alors $I=\mathbf Zx$. C'est-à-dire : tout idéal de $\bf Z$ est principal, et ça se démontre par division euclidienne\ldots
-
Bravo à PB pour sa lecture "à travers" le code... Je n'aurais pas eu cette patience
Un idéal $I$ est un sous-ensemble de l'anneau (ici $\Z$) qui est stable par sommes (une somme d'éléments de $I$ est dans $I$), et tel que si tu multiplies un quelconque de ses éléments $e$ par {\bf n'importe quel} $y$ de l'anneau, le résultat $ey$ est dans $I$
L'assertion de PB est que pour tout idéal non vide $I$ de l'anneau des entiers $\Z$, il existe un entier $n$ {\bf qui se trouve dans $I$} et tel que tous les éléments de $I$ sont des multiples de $n$.
Pour prouver que c'est vrai, une "idée" que tu pourrais avoir consiste à essayer avec le plus petit élément positif de $I$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci a celui qui a rendu mon message beaucoup plus beau !!! [A ton service
AD]
Euh et merci pour le jeune homme qui m'a répondu .. c'est bizarre qu'il y a beaucoup de notation pour pas grand chose ..
Retour a l'énoncé :
Pour PB :
voici le schéma de la division euclidienne :
r_0 = q_0r_1 +r_2
r_1=q_1r_2 +r_3
.
.
r_w-2=q_w-1r_w + r_w+1
Ah tiens pendant que j'y pense ça permet d'en déduire que tout anneau euclidien est principal !! (c'est vrai ou pas ? )
Pour Christophe je n'ai pas compris l'idée que je devrais avoir mais si c'est ça je ne saurais le montrer :
x=0 ssi d(x)<\mu_A
C'est ça ? -
{\it Ah tiens pendant que j'y pense ça permet d'en déduire que tout anneau euclidien est principal !! (c'est vrai ou pas ? ) }
Waouh!!! Si ce n'est pas du mimétisme, ça sort de l'ordinaire!
prends le plus petit entier positif non nul $n$ d'un idéal $I$ de $\Z$ et prouve que tous les autres éléments de $I$ sont des multiples de $n$ (utilise la division euclidienne de cette élément par $n$).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
bah par définition c'est un sous groupe additif stable par multiblication de n'importe quel élèment .. c'est pas suffisant ?
-
Christophe ..
T'es revenu de la salle ? -
Oui...
Mais je vais dormir, je suis crevé (d'ailleurs je n'ai brulé que 300 kcal).
En ce qui concerne ton argument ci-dessus, je n'ai pas compris en quoi il suffit de dire que l'idéal est stable pour justifier que tous ses éléments sont multiples de $n$.
Certes, les multiples de $n$ (qui est dans l'idéal) sont dans l'idéal, mais ça, c'est autre chose...
Bonne nuit,
KissAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Voila c'est ce que je voulais dire mais je ne vois donc pas comment le prouver
Bonne nuit Christophe .. BISOU.
P.S :Quelqu'un prend le relais svp? -
Bon c'est pas ce que l'on appel succés pour mon post ..
Je cale toujours .. -
En gros en oubliant les notation qui sont pas forcement la pour aider .
tu prend un ideal I de ton anneau euclidien A et tu poses x le plus petit (via d ) des elements de I .
premierment xA inclus dans I , c'est evident (x app I et I est un ideal)
deuxiement si tu prend i app I tu divise euclidiennement par x
i=kx+r avec r qui doit etre dans I ((difference de deux elements de I ) on a donc d(r) <d(x)
maintenant le probleme c'est que l'on suposse surement une condition sur d par exmeple d(t)=-00 ssi t=0 (analogie avec les anneaux de polynome sur un corps ou d est le degre d'un polynome).
si r=/=0 alors c'est impossible d'avoir d(r)<d(x) vu le caractere minimal de x dans I
necessairement r=0 et i app xA . CDFD
voila
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Bonjour!
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