pour Borde

Salut Franck,

Plus simple, non, je ne crois pas car cette formule est au coeur de l'inversion de Möbius, qui, dans le cadre du produit de convolution de Dirichlet, signifie simplement que $\mu$ est l'inverse de la fonction constante $n \mapsto 1$ pour cette opération.

En revanche, ce n'est pas la seule manière d'y arriver. Tu peux aussi procéder ainsi : l'égalité est facile à vérifier pour $n=1$ donc supposons que $n \geqslant 2$ et notons $n = p_1^{e_1}...p_r^{e_r}$. Dans cette somme, les seuls diviseurs $d$ à intervenir sont $1$ et les diviseurs 2-libres de $n$, donc : $$\sum_{d \mid n} \mu(d) = \mu(1) + \mu(p_1) + ... + \mu(p_r) + \mu(p_1p_2) + \mu(p_1 p_3) + ... + \mu(p_{r-1} p_r) + ... + \mu(p_1...p_r)$$ puis un décompte classique de combinatoire donne alors : $$\sum_{d \mid n} \mu(d) = 1 + \binom{r}{1}(-1) + \binom{r}{2} (-1)^2 + ... + \binom {r}{r} (-1)^r = (1 - 1)^r = 0.$$

Pour Lagrange, je m'en sers pour accélérer la preuve de Wilson, dans l'exemple 3.28 (page 55) et dans le théorème 3.33.

Voici un énoncé de ce résultat :

{\it Soit $P$ un polynôme de degré $n$ à coefficients entiers et $p$ premier. Alors, ou bien la congruence $P(x) \equiv 0 \pmod p$ a au plus $n$ racines non congruentes $\pmod p$, ou bien $p$ divise chaque coefficient de} $P$.

Borde.

De rien.

Pour Lagrange, voir aussi là : \lien {http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon42/mon4205.pdf}, page 18-22.

Borde.