A la recherche d'une bijection....

\newcommand{\bij}[2]{\lfloor #1, #2 \rfloor}
\newcommand{\N}[0]{\mathbb{N}}

Je cherche une bijection $\bij{.}{.}$ de $\N\times\N$ dans $\N$ qui, sous reserve
que cela soit possible, vérifie $\forall \bij{n}{m} \in \N$ et $\forall i \in \{0,1\}$ :
$$\bij{n}{m} = 2 \bij{n'}{m'} \iff
\bij{\bij{i}{n}}{m} = 2 \bij{\bij{i}{n'}}{m'}$$
$$\bij{n}{m} = 2 \bij{n'}{m'} + 1 \iff
\bij{\bij{i}{n}}{m} = 2 \bij{\bij{i}{n'}}{m'} + 1$$

Je n'arrive pas vraiment à trouver, et je sollicite donc votre grande expertise...