infirmation de RH ?

Ca a été posté par un mathématicien, c'est donc vraisemblablement non farfelu (ce qui ne dit rien sur l'exactitude du papier). On sera sans doute fixés rapidement...

Bonjour,

J'adore à la page 18 la contradiction qui prouve que RH est fausse. Si ce type a réussi à montrer RH est fausse en arrivant au fait que sinon l'on obtiendrait $\displaystyle e^{\ln(x)}<x$ pour un certain $x$, ca serait très marrant tellement la condition est simple.

sk.

Bah, suspect ou pas, il est juste ou faux et c'est cela qui compte.

Oups je corrige, ce n'est pas la derivée de zeta qui apparait dans le
membre de gauche de l'égalité du lemme 7.
Cela dit le fait que f' soit non borné au voisinage de 1 (page suivante)
me semble incompatible avec la conclusion du lemme 7. Quelqu'un peut confirmer?

A+

eric

euh... comment definis tu '$<$' ?

rien compris !
(si quelqu'un pouvait revenir au sujet SVP..)

Veuillez me pardonner : je voulais donner une petite explication, mais ça crée du grabuge, je me retire de la discussion, continuez sans ma modeste intervention !

Memento : si la preuve/infirmation de la conjecture semble ne pas apporter d'idées on sera déçu, c'est certain (et c'est un euphémisme). Mais ce n'est pas pour cela qu'une preuve/infirmation qui semble ne pas apporter d'idées est fausse...

Disons plutôt que, vu la trogne de la preuve, on se surprend à avoir envie qu'elle soit fausse.

Oui, j'avais corrigé ce que tu me disais entre temps, à savoir sa preuve est aussi douteuse qu'inutile, puisque le résultat existe déjà (une application de la formule d'Euler-MacLaurin).

Gedeon,

j'avais bien lu l'en-tête que tu cites, mais je trouve assez inutile de mettre des HR (ou RH en anglais) partout, même (et surtout) lorsqu'il n'y en a pas besoin. Du coup, comme sa "preuve" est une démonstration par l'absurde, je me suis demandé ce que cela donnait en considérant ce lemme 7 vrai {\it même sans avoir HR}, alors que l'auteur semble penser qu'il n'est valable que sous HR, ce qui est faux (je parle de l'inégalité, bien sûr, qu'il utilise dans sa preuve).

Quant au nombre de zéros, le résultat est classique (conjecturé par Riemann, puis démontré par Von Mangoldt à la fin du 19ème), voir n'importe quel livre de théorie analytique des nombres : par exemple, {\bf Tenenbaum}, {\it Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres}, SMF (1995), théorème 12 page 155.

Borde.

Salut Borde,

Pour le 1 je pense qu'entre les 2 lignes il redimensionne la constante A
(qui n'est donc pas le meme sur les 2 lignes) afin que l'inegalitée
soit vraie pour t assez grand ce qui est sont but, et en utilisant le
fait que pour t assez grand on a log(log(log(t))) plus grand que n'importe
quelle constante choisie au depart.

En tous cas c'est comme ca que je le comprends..

A+

eric

Je viens de pousser un peu plus loin la lecture de ce papier
est c'est de plus en plus confus...
L'equation 15 pose un probleme de formulation car il defini $t=t_0+\delta$
avec $\delta = A/\log(n)$ puis $\delta = min |t-\gamma|$ ou $\gamma$
decrit les zeros de zeta (sur la droite critique)... Quelle definition est
la bonne? Probablement la 1ere mais le role de (15) n'est pas clair...

Ensuite page 12 on a un B qui disparait comme par enchantement...
Enfin la plupart des majorations sont tellement grossieres que
pour obtenir une contradiction du type $0<0$ il faut vraiment
avoir laissé tomber un terme essentiel quelque part...

Pas très convaincant tout ca.

Eric

Quant à moi il ne me semble pas possible de réfuter HR par quelque argument que ce soit...
Comment ça je suis de mauvaise foi ?:D

SXB : si les matheux passaient leur temps à lire les tentatives de preuves de conjectures célèbres, ils ne feraient plus de math...

L'auteur du papier en question l'a certainement soumis à une revue et un ou deux gus sont du coup certainement en train de vérifier le papier (ou ont déjà fini). Il n'est pas utile (et pas souhaitable) que les 100.000 matheux professionnels cessent toute activité pour lire le papier...

Désolé pour toi que ce mois fut difficile, Barbu, j'espère que les jours à venir te seront plus favorables (en tout cas, je te le souhaite...).


Je vais répondre également à SXB, car il me semble que son propos me concerne également (toutefois, si cela n'était pas le cas, qu'il ne tienne pas compte de ce que je vais dire...) :

Dans la communauté des spécialistes de HR, il y a (à peu près) convergence de vue sur sa véracité. En fait, il existe de nombreux indices pour croire à cette véracité : tout d'abord, il y a le théorème de Bombieri-Vinogradov (1965) qui constitue un vrai cap en sa faveur, puisque l'on peut le considérer comme "une preuve" de HR "en moyenne". Il y a aussi le résultat (profond) d'André Weil (1948) qui stipule de HR est vraie pour les corps de fonctions. N'oublions pas non plus que l'on sait aujourd'hui que plus de 40 \% des zéros de $\zeta$ sont situés sur la droite critique.

Bref, pas de preuve, certes, mais un faisceau de présomptions qui font penser à la véracité de HR, et, surtout, on ne comprend(rait) pas pourquoi elle serait fausse (j'entends par là : on ne trouve pas de raison arithmétique profonde qui viendrait infirmer HR).

Aussi, lorsque quelqu'un (inconnu pour moi), et ce, en deux coups de cuillère à pot, prétend réfuter HR, on ne peut pas dire que son papier arrive dans les meilleures conditions, surtout lorsque la démonstration est rédigée avec un abus évident de notations souvent superflues, ce qui rend suspect ledit papier, alors que celui-ci aurait dû, vu la difficulté du sujet, être d'une clarté sans faille. Il y a eu par le passé de telles tentatives (un auteur en a même fait un livre. Faire une recherche sur le forum...) !!

Ceci dit, tout un chacun peut télécharger ce preprint et (essayer de) se faire sa propre opinion dessus. Il ne me paraît pas nécessaire de connaître sur le bout des doigts la théorie, et, au besoin, Eric C., moi ou d'autres peuvent éventuellement intervenir pour tel ou tel point précis (voir nos mesages respectifs plus haut).

Pour ma part, je conseillerais plutôt l'article suivant, plus sérieux à mon sens :

\lien {http://fr.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0703/0703570.pdf}

Borde.

Merci à tous pour vos réponses, surtout à Borde qui m'a apporté tant de renseignements. ceci dit, il est vrai qu'à un noveau en dessous de bac + 5 il est tellement facile de vérifier les démos en comparaison avec ce genre de démos là qu'il est en effet beaucoup plus important d'être clair.

Je me suis un peu emporté dans ces propos, désolé, je suppose bien qu'il doit y avoir tant de preuves erronnées.

Mais quel culot de présenter une démo sans la vérifier!!!! Même si je devais y passer dix ans, je ne publierais pas une démo avant d'en être certain!

J'ai déjà tourvé quelques jolies petites démos peut-être inédites (car originales) pour certaines mais qui ne font pas appel à des notions bien grandioses, qui ne font pas appel à beaucoup d'autres résultats et qui à priori ne donnent rien de révolutionnaire même si c'est probablement inédit.

Mais on n'emploie pas dans une publication un résultat que l'on ne connait pas.

Comme certains l'ont si bien dit, on ne peut pas tricher en maths, alors pourquoi faire perdre du temps aux autres?

Mais au juste, quelles seraient les conséquences si par malheur RH (je persiste à utiliser l'abréviation anglo-saxonne, HR restant pour moi synonyme d'Hypothèse de Récurrence, de même que MST ne peut guère signifier que...Milieu Semi Transparent !(:P)) se révélait fausse ?

Sylvain,

RH peut aussi être le facteur rhésus...

Plus sérieusement, la réfutation de HR poserait un certains nombres de problèmes, au moins quant à notre compréhension des phénomènes arithmétiques.

Tout d'abord, et c'est pour moi l'un des points principaux, il faudrait que l'on m'explique pourquoi Bombieri-Vinogradov est vrai alors qu'HR est fausse. Il n'y a pas à proprement parlé de contradiction réelle entre ces deux résultats, mais cela me gênerait vraiment !...

De plus, HR faisant tomber un certain nombre d'autres conjectures (Lindelöf, par exemple), il faudrait alors s'attaquer indépendamment à ces conjectures, sans espérer le secours de HR. Or, pour prendre comme exemple l'hypothèse de Lindelöf, {\it on en est encore loin} avec les outils actuels (à tel point que je me demande si les gens n'attendent tout simplement pas HR pour en déduire les conjectures plus faibles !...).

Borde.

{\it si je comprends bien le résumé de Borde ,
si RH était fausse cela napporterait rien de plus}

Je n'ai pas exactement dit cela, toute information quant à la véracité d'une telle hypothèse, vraie ou fausse, serait certainement riche de renseignement. Par exemple, le premier zéro éventuel de $\zeta$ qui {\bf ne serait pas} sur la droite critique serait certainement une constante arithmétique d'une grande valeur...

Mais...

Voici néanmoins quelques arguments qui plaident en faveur de HR. {\bf Ce ne sont pas} des preuves, mais peuvent aider tout un chacun à se faire une opinion :

1. On sait que presque tous les zéros de $\zeta$ sont très proches de la droite critique. Plus précisément, plus de 99\% des zéros $\rho = \beta + i \gamma$ (notation officielle des zéros de $\zeta$) vérifient $\displaystyle {\left | \beta - \frac {1}{2} \right | \leqslant \frac {8}{\ln |\gamma|}}$.

2. HR implique aussi que tous les zéros des dérivées de la fonction $\xi(s) = \frac {s(s-1)}{2} \pi^{-s/2} \Gamma (s/2) \zeta(s)$ sont aussi sur la droite critique, et on a montré que plus de 99 \% des zéros de $\xi'''(s)$ sont sur la droite critique. Il semblerait que Norman Levinson, peu de temps avant sa mort, pensait avoir trouvé une méthode (utilisant une espèce de "théorème de Rolle inversé") qui lui aurait permis de passer d'une proportion connue de zéros de $\xi'(s)$ sur la droite critique à une proportion pour $\xi(s)$ sur cette droite, et de même pour passer des zéros de $\xi''(s)$ à ceux de $\xi'(s)$, etc. Mais personne n'a pu depuis faire fonctionner ce principe. Rappelons tout de même que ce chercheur a inventé une technique pour compter la proportion de zéros sur la droite critique (voir son article de 1974).

3. La symétrie des nombres premiers : si HR était fausse, il y aurait d'étranges irrégularités dans la distribution des nombres premiers, tellement étranges que personne n'y croit vraiment.

Borde.

Je pense que Borde évoque la fonction $\pi(x)$ (le nombre de nombres premiers inférieurs à $x$). En fait RH équivaut à:
$\exists C>0,\ \vert\pi(x)-Li(x)\vert <C\sqrt(x)\ln x$

Cette inégalité traduit une certaine "régularité" de la fonction $\pi(x)$, et donc de la distribution des premiers parmi les entiers naturels.
Le principal intéressé confirmera ou non ces propos le cas échéant.

Bonjour Sylvain , Borde..

Merci pour ce compliment,

En fait comme la distribution des premiers, est forcément régulière, même si les entiers naturels composés occupent de plus en plus de place, il y aura toujours des espaces avec plus ou moins de premiers, donc une courbe oscillatoire par rapport à zéro.

En supposant RH vraie, confirmerait-on l'infinité de premiers jumeaux, ou l'inverse, c'est à dire que RH serait vrai. Car je suppose qu'une distribution régulière de premiers, implique un écart minimum de 2 entre deux premiers, comme 4,6,8... etc
Est-ce que cette formule permet de calculer le nombre de nombres premiers entre deux points, je veux dire par là entre A et B puis entre B et C ?
Ou en calculant les différences on constate plus ou moins de premiers.
Si oui, est-ce que l'on remarque un nombre de premiers plus ou moins important en fonction de ces points ? Voici un exemple :

Prenons la famille des premiers 7(30) de 0 à 90mds puis de 0 à 180mds ... 0 à 450

F7 : ¡ú 89999999797 = 465 309 093 nP
F7 : ¡ú 179999999707 = 904 621 181 nP
F7 : ¡ú 269999999857 = 1 335 134 285nP
F7 : ¡ú 359999999827 = 1 760 099 445nP
F7 : ¡ú 449999999767 = 2 181 058 528 nP
on remarque que le nombre de premiers 7(30) pour 90 mds de plus, chute de moins en moins ce qui fait remarquer qu'à une certaine distance, on se retrouvera pour 90 mds de plus avec un nombre de premiers supérieur à la dernières série précédente.
Il en est de même pour les 8 familles.

Mais ce qui est le plus intérressant dans la famille F23(30) où l'on peut supposer qu'il y aurait moins de premiers par rapport à F7(30) du fait que cette F23 comporte les deux couples de jumeaux f11 et F13 ainsi que F17 et F19 donc en supposant un nombre fini de jumeaux, il y aurait une irrégularité voire un paradoxe c'est à dire moins de premiers 23(30) et plus de premier 7(30) ce qui est faux. De temps en temps plus de 23(30) et d'autre fois le contraire.

Le nombre de premiers par famille reste équivalent la courbe du nombre de premiers, est oscillatoire lorsque n tend vers l'infini.

S23 : ¡ú 89999999993 = 465308 258 nP
S23 : ¡ú 179999999873 = 904 628 614 nP
S23 : ¡ú 269999999903 = 1 335 129 326 nP
S23 : ¡ú 359999999753 = 1 760 101 423 nP
S23 : ¡ú 449999999963 = 2 181 059 655 nP

Peut-on avec cette formule calculer par Famille (on peut faire la moyenne bien sûr) ?


[Je n'ai pas su à quoi correspondent les codes ¡ú et nP :-( AD]

bonlour et excusez moi.
les codes; jusqu'à et nP = nombre premier ex:

Série 23(30): nombr de prem de 0 à 449 999 999 963 = 2 181 059 655 nP .


ma question sylvain
si Rh est vrai, la formule que tu donnes permet de constater une certaine régularité dans le calcul du nommbre de premier.
je suppose que cette formule permet aussi de calculer le nombre de premiers.

1)
mais est ce que cela permet de donner le nombre de premier (estimation) entre deux points exemple entre 1000 et 10 000 puis entre 10 000 et 20 000.
2)
ou, peut on constater si Rh et vrai que la courbe du nombre de premiers lorsque N tend vers l'infini, que ce nombre de premiers est oscillatoire.
c'est à dire qu'entre deux points, il peut y avoir plus de premiers qu'entre deux points précédents.
car je suppose que tous ces zéros qui sont sur la bande critique sont en rapport avec la distribution du nombre de premiers, ne connaissant pas exactement le role de cette hypothése de R , j' en ai compris que ces zéro sont comme des points, avec plus ou moins de premiers, mais sans pour autant dépasser le nombre réel de premiers donné par la fonction pi(x).

le fait de considérer un nombre de premiers oscillatoire :
plus, moins , plus, moins, permet de supposer un peu plus, que le nombre de premiers jumeaux est infini. De plus, je pense que si ces premiers jumeaux était en nombre finis, il y aurait une irégularité dans le nombre de premiers.

maintenant, si cette formule à pour but uniquement de donner une estimation de premier par rapport à X sans autre précision...j'espère qu'elle a plus d'utilité pour d'autre fonction dans ce cas .

merci Mr borde pour ces renseignements qui me permettent de comprendre un peu mieux la raison de cette Hypothèse de R.

mais je trouve dommage que l'on s'en tienne à l'ensemble des entiers naturels

car je pense que l'on aurrait peut être une meilleur estimation dans les entiers P(30) ou du moins une meilleur vision de leur répartiton, déja en ne travaillant que sur une des 8 familles;
on risque de s'apercevoir que le résultat serait le même, que de travailler dans l'ensemble des entiers naturels et de là, reconsiderer leur répartiton en commençant par les premiers jumeaux puis les nombres de Fermat on pourrait bien avoir la surprise d'en trouver d'autre.

les multiples de 2,3 et 5; n'apporte rien à la distribution des nombres premiers.

mais peut être que ma supposition aussi n'apporterait rien de plus.

la raison qui me fait dire cela, c'est que: plus l'ensemble est réduit meilleur est l'estimation.