Groupe cyclique / générateur / ordre
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai qelques difficultés de compréhension sur le sujet car j'ai du louper un épisode , voici mes questions :
1)Soit un groupe (Z/nZ),* il admet $\phi$ (n) générateurs (faux je pense merci de votre avis?)
2)Pour déterminer s'il est cyclique il faut qu'un des générateurs soit d'ordre n (l'ordre étant le plus petit entier p tel que $x^p$ = e avec e élément neutre du groupe)
3)Selon ce raisonnement pour Z/26Z l'indicatrice d'euler donne 12 il faut donc que je vérifie pour ces 12 éléments que l'ordre est 26 ... cela me semble un peu fastidieux par exemple pour 3 on a $3^3$ = 1 (26) donc 3 n'est pas un générateur 5 aussi etc mais est ce qu'il n'existe pas une méthode plus directe ?
Merci d'avance de m'aider sur le sujet
J'ai qelques difficultés de compréhension sur le sujet car j'ai du louper un épisode , voici mes questions :
1)Soit un groupe (Z/nZ),* il admet $\phi$ (n) générateurs (faux je pense merci de votre avis?)
2)Pour déterminer s'il est cyclique il faut qu'un des générateurs soit d'ordre n (l'ordre étant le plus petit entier p tel que $x^p$ = e avec e élément neutre du groupe)
3)Selon ce raisonnement pour Z/26Z l'indicatrice d'euler donne 12 il faut donc que je vérifie pour ces 12 éléments que l'ordre est 26 ... cela me semble un peu fastidieux par exemple pour 3 on a $3^3$ = 1 (26) donc 3 n'est pas un générateur 5 aussi etc mais est ce qu'il n'existe pas une méthode plus directe ?
Merci d'avance de m'aider sur le sujet
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Réponses
1/ Il y a une étoile après la virgule... je ne sais pas très bien ce que tu as voulu écrire. Mais $\Z/n\Z$ a effectivement $\varphi(n)$ générateurs (ce sont les $\overline{k}$ pour $k\in\{0,\cdots,n-1\}$ premier avec $n$).
2/ C'est même équivalent : un groupe d'ordre $n$ est cyclique si et seulement s'il admet un générateur d'ordre $n$.
en gros $(\Z/n\Z)$ est LE groupe cyclique d'ordre $n$, il possede effectivement $\phi(n)$ generateur. plus precisement, l'ensemble des generateurs est exactement l'ensemble des entiers premiers avec $n$, d'ou le resultat. ces elements forment eux meme un groupe mais pour la multiplication, qu'on note $(\Z/n\Z)^*$.
et pour verifier qu'une element est generateur, il suffit donc de calculer le PGCD de cet element avec $n$... pas la peine de calculer l'ordre !
Quelle rapidité ! * = x ... en fait je parlais d'un groupe multiplicatif
Merci d'avance
Comme l'on dit les précédent intervenants, l'anneau $\Z/n\Z$ possède 2 lois de compositions.
$\bullet\quad$ {\bf L'addition} et $(\Z/n\Z, +)$ est le groupe cyclique d'ordre $n$. Les $\varphi(n)$ entiers inférieurs à $n$ et premiers avec $n$ sont générateurs, donc tous d'ordre $n$ (pour l'addition).
$\bullet\quad$ {\bf La multiplication}, et alors l'ensemble des éléments inversibles forme un groupe noté $\big((\Z/n\Z)^\times, \times\big)$ qui admet $\varphi(n)$ éléments, précisément ceux qui sont premiers avec $n$, (c'est à dire les générateurs de $(\Z/n\Z, +)$ qu'on vient de voir).
Ce groupe $\big((\Z/n\Z)^\times, \times\big)$ est par commutatif, mais n'est pas en général cyclique. Il est cyclique ssi $n=p^r$ ou $n=2p^r$ avec $p$ premier impair. L'obtention de générateurs n'est pas facile en général. Des essais successifs en commençant par $2, 3, 5 \ldots$ permettent assez rapidement (pour des $n$ petits) de trouver ces générateurs.
Alain
En fait ce qui me pose problème c'est de trouver les générateurs avec une méthode sachant que pour un groupe comme (Z/26Z)X cela peut s'avérer un peu longuet mais j'ai encore deux petites questions
1)Pour ce groupe Z/26Z 3 n'est pas un générateur peut on en déduire que les multiples de 3 ne sont pas générateurs ?
2)Si on trouve au moins 1 générateur (différent de 1) peut on en déduire que le groupe est cyclique .
Je tiens à préciser que je parle bien d'un groupe multiplicatif
Merci d'avance
@+
2)ben par definition, si tu trouve un element qui engendre le groupe tout entier.. alors le groupe est cyclique (monogene, en fait, mais dans le cas fini cyclique..). mais ta formulation est ambigüe, car si un groupe n'est pas cyclique mais engendré par $\{a,b\}$ on dira aussi que $a$ est un generateur... donc si la question est "si on trouve un element qui engendre le groupe, alors est ce que c'est cylique", la reponse est oui, par definition.
Pour ce qui concerne $(\Z/26\Z)^\times$, comme $n=26=2\times 13$, il est cyclique, d'ordre $\varphi(26)=12$
Il faut aller à la pèche : $3,\ 3^2=9,\ 3^3=27=1\pmod{26}$, donc $3$ est d'ordre 3. Donc lorsque tu auras un générateur $\alpha,\ 3$ sera l'un de $\alpha^4, \alpha^8$ qui sont les 2 éléments d'ordre 3 du cyclique $A=\langle \alpha \mid \alpha^{12} = 1 \rangle$
$5,\ 5^2=25=-1\pmod{26}$ donc $5$ est d'ordre $4$, donc l'un de $\alpha^3,\ \alpha^9$ qui sont les 2 éléments d'ordre 4 de $A$
Alors là, comme 3 et 4 sont premiers entre eux, Bezout donne $1\times 4 -1\times 3 = 1$ et donc $\alpha=\alpha^1 = \alpha^{4-3}=\alpha^4.\alpha^{-3}$
en supposant que $3=\alpha^4$ si $5=\alpha^3,\ \alpha^{-3}=\alpha^9= 5^3=5^2.5=-5$ alors $\alpha = 3.(-5)=-15=11\pmod{26}$
On essaie $11,\ 11^2= 17 \pmod{26},\ 11^3=167=5$ ça marche ! $\alpha=11$ convient.
Si $11$ n'avait pas convenu, il aurait fallu essayer $\alpha^9= 5$ et donc $\alpha^{-3} = 5$ ce qui aurait donné $\alpha=3\times 5=15$ et on essaie $15 = -11\pmod{26}$ etc ...
Alain
Exemple avec Z/26Z
j'élimine les mutliples de 2 et 13 il me reste 12 éléments
Je constate que 3 n'est pas générateur (car $3^3$ = 1) et j'élimine les multiples de 3 comme 9 ou 15 ...
Je continue avec 5 même constatation
Mais cela me semble laborieux , en fait c'est un exercice sur lequel j'ai buté car même si j'ai la solution je n'ai pas la méthode alors si tu peux éclairer ma lanterne ? en fait pour être franc j'ai buté sur :
1) méthode pour trouver des générateurs d'un groupe multiplicatif
2) prouver qu'un groupe multplicatif n'est pas cyclique (en l'occurence c'était Z/15Z )
Merci d'avance et @++
Pour $\big((\Z/15\Z)^\times,\times\big)$, comme $n=15=3\times 5$ n'est pas de la forme $p^r,\ 2p^r$, donc n'est pa cyclique.
Pour être plus précis, il faut savoir que $(\Z/n\Z)^\times \simeq Aut(\Z/n\Z)$ et ensuite que
$Aut(A\times =Aut(A)\times Aut(B)$ lorsque $A,B$ sont des groupes finis d'ordre premier entre eux (assez facile à montrer).
Alors 3 et 5 sont premiers entre eux donc (lemme chinois) $\Z/15\Z \simeq \Z/3\Z\times \Z/5\Z$ et aussi :
$Aut(\Z/15\Z) = Aut(\Z/3\Z) \times Aut(\Z/5\Z) \simeq \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ qui n'est pas cyclique.
Alain
Merci à tous de m'avoir aidé par contre le symbole Aut j'avoue que je ne sais pas ce que c'est sinon votre aide a été très précieuse comme toujours sur ce forum
@++
Dans le cas où un groupe $G$ est cyclique, on simplement monogène, on peut fixer un générateur $a$ de $G$. Alors un morphisme de groupes $f \, : \, G \to H$ est entièrement déterminé par l'image $f(a)$ de notre générateur. En effet pour tout $x \in G$ on peut écrire $x=a^k$ et donc $f(x)=f(a^k)=f(a)^k$ puisque $f$ est un morphisme.
Il est facile de voir que dans le cas $H=G=\Z/n\Z$, un morphisme $f \, : \, G \to G$ est bijectif si et seulement l'image d'un générateur est encore un générateur (je t'invite à le faire). Donc un automorphisme est déterminé par le choix du générateur $b$ sur lequel il envoie $a$. Tu peux vérifier que l'on détermine ainsi une bijection $\Phi_a$ de l'ensemble des automorphismes de $G$ dans l'ensemble des générateurs de $G$, par $\Phi_a(f)=f(a)$ (je t'invite à le faire).
Lorsque $\mathrm{Aut} \, G$ est muni de sa structure de groupe pour la loi $\circ$ et lorsque l'ensemble des générateurs de $G=\Z/n\Z$, qui est exactement $(\Z/n\Z)^{\times}$, est muni de sa structure de groupe pour la loi $\times$, alors on peut voir que $\Phi_a$ est carrément un morphisme de groupe, i.e. $\Phi_a(g \circ f)=\Phi_a(g) \times \Phi_a(f)$ (je rappelle si besoin est que que $\Phi_a \, : \, (\mathrm{Aut} \, G, \circ) \to ((\Z/n\Z)^{\times},\times)$). Comme il est bijectif c'est un {\bf isomorphisme} de groupes, donc on a montré que $\mathrm{Aut} \, G$ et $(\Z/n\Z)^{\times}$ sont isomorphes, ce qui signifie en gros qu'il "fonctionnent" pareil ; même caractéristques (cycliques ou non, abéliens ou non), même nombre d'élement d'un ordre donné, de sous-groupes d'ordre donné, etc.
@++
De quelle forme sont les automorphismes de $\Z/n\Z$ svp ? j'en déduis qu'il y en a $\phi(n)$ ?
Dire ce que je viens de dire, c'est exactement l'écriture mathématique du raisonnement suivant : Si $k\in (\Z/n\Z)^*$, alors $k$ est un générateur du groupe cyclique $\Z/n\Z$. Ainsi, en posant $\psi$ le morphisme de groupe envoyant $1$ sur $k$ on obtient un automorphisme $\psi$ de $\Z/n\Z$. Réciproquement, tout automorphisme de $\Z/n\Z$ envoie $1$ sur un élément de $(\Z/n\Z)^*$. Autrement dit il est clair que $Aut(\Z/n\Z)$ est isomorphe à $(\Z/n\Z)^*$
et toi tu as écrit quelque chose de légèrement différent :$(\Z/n\Z)^\times = Aut(\Z/n\Z)$ :-S
En fait j'ai essayé de comprendre la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_cyclique#Endomorphisme
mais je ne comprends pas la construction des automorphismes $x \mapsto x^p$ : pour moi ils sont surjectifs et pas bijectifs :-S
Si on prend $p=6$ , alors $2^6=3^6=1$ (dans $(\Z/7\Z)$).
Donc $f(2)=f(3) $ donc ce n'est pas une bijection ? où est mon erreur ?
Pourquoi le groupe des automorphismes n'est pas exactement le groupe symétrique ?
@Grenouille: je n 'ai pas compris :-S
-- Schnoebelen, Philippe