A propos de la fonction Zeta

Bonsoir, j'ai lu que la fonction $\zeta$ était définie pour tout nombre complexe $s$ de partie réelle $\Re (s) > 1$
$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$
Il va de soit que cette définition ne convient pas pour $s$ (réel) négatif ni pour $s$ compris entre 0 et 1.

Or on dit que les entiers négatifs pairs sont les zéros triviaux de cette fonction. Comment cela est-il possible puisque la fonction $\zeta$ n'est pas définie pour $s$ entier négatif (du moins pas comme je l'ai écris plus haut).

D'autre part, il est écrit aussi que la fonction $\zeta$ vérifie pour tout complexe différent de 0 et de 1 :
$$ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$
Donc a priori, cette relation serait vraie pour $s=2$ et $\zeta(2)$ serait égal à 0 !!!
Ce qui est faux car $\zeta(2)$ fait comme vous le savez sûrement $\frac{ \pi^2}{6}$.

Voilà, voilà veuillez m'excusez pour ces questions un peu naïves et j'espère que vous m'éclairez sur ce sujet.

(Désolé je n'arrive pas à faire fonctionner LATEX si quelqu'un pouvait rendre ça plus lisible )
[Voilà, voilà. AD]