Factorisation de dzeta
dans Arithmétique
Bonjour,
Dans un exercice d'oral, la première question est (de but en blanc...) "montrer que la série des inverses des nombres premiers est divergente".
Il suffit de montrer qu'elle est équivalente à $\ln \ln n$. Je fais ca en remarquant que si $p_n$ est le n-ième nombre premier, $\frac{1}{p_n} \rightarrow 0$, donc $\frac{1}{p_n} \sim -\ln (1 - \frac{1}{p_n})$. Ces deux quantités ayant un signe fixe, la série des inverses des nombres premiers à même nature que la série de terme général $-\ln (1 - \frac{1}{p_n})$.
Or $\sum_{k=0}^{n} -\ln (1 - \frac{1}{p_k}) = \ln \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{1-p_k^{-1}}$.
Et ce produit est bien connu : c'est $\zeta(1)$, c'est à dire la série harmonique, équivalente à $\ln n$.
D'où le résultat.
Le seul problème, c'est que, même à Ulm, on va demander des comptes sur l'égalité entre $\zeta$ et le produit. Et là, je ne sais pas répondre autrement qu'avec les mains : on part de l'expression usuelle $\zeta(s) = \sum \frac{1}{n^s}$. Là on sort tous les facteurs $2$, puis $3$ etc... et on obtient l'expression. Mais bon, le coup du "et ca continue jusqu'a l'infini" ne tient pas, et puis c'est vrai que ca peut ne pas être totalement convainquant.
Connaitriez-vous un argument simple pour justifier cette factorisation ? Tout en sachant bien sûr qu'on se place au niveau spé, donc un faible bagage en arithmétique.
Merci
Cordialement
Dans un exercice d'oral, la première question est (de but en blanc...) "montrer que la série des inverses des nombres premiers est divergente".
Il suffit de montrer qu'elle est équivalente à $\ln \ln n$. Je fais ca en remarquant que si $p_n$ est le n-ième nombre premier, $\frac{1}{p_n} \rightarrow 0$, donc $\frac{1}{p_n} \sim -\ln (1 - \frac{1}{p_n})$. Ces deux quantités ayant un signe fixe, la série des inverses des nombres premiers à même nature que la série de terme général $-\ln (1 - \frac{1}{p_n})$.
Or $\sum_{k=0}^{n} -\ln (1 - \frac{1}{p_k}) = \ln \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{1-p_k^{-1}}$.
Et ce produit est bien connu : c'est $\zeta(1)$, c'est à dire la série harmonique, équivalente à $\ln n$.
D'où le résultat.
Le seul problème, c'est que, même à Ulm, on va demander des comptes sur l'égalité entre $\zeta$ et le produit. Et là, je ne sais pas répondre autrement qu'avec les mains : on part de l'expression usuelle $\zeta(s) = \sum \frac{1}{n^s}$. Là on sort tous les facteurs $2$, puis $3$ etc... et on obtient l'expression. Mais bon, le coup du "et ca continue jusqu'a l'infini" ne tient pas, et puis c'est vrai que ca peut ne pas être totalement convainquant.
Connaitriez-vous un argument simple pour justifier cette factorisation ? Tout en sachant bien sûr qu'on se place au niveau spé, donc un faible bagage en arithmétique.
Merci
Cordialement
Réponses
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Brillante démonstration ! En même temps, c'est du Erdös...
Je la garde sous le coude, et en mémoire. Merci pour le lien.
Mais comme tu l'as fait remarqué, ca ne répond pas à ma question. Et comme j'y suis presque, je me dit qu'on doit bien pouvoir conclure de façon pas trop compliquée.
Une fois encore, je te remercie pour m'avoir transmis cette belle preuve !
Cordialement -
Je sais pas si ca répondra à ton souhait de truc élémentaire mais la démo de l'égalité produit/zeta peut se faire en utilisant des probas et plus exactement l'indépendance de variable aléatoire.
On se donne une va $X$ de $\Omega$ vers $\N^*$ de loi $P(X=n)=\frac{1}{\zeta(s)}\frac{1}{n^s}$ (le $s$ est réel $>1$)
1) on pose $A_n=\{n|X\}$ et on montre que $P(A_n)=\frac{1}{n^s}$
2) on montre que les $(A_p)_p$ forment une famille indépendantes de va ($p$ décrit l'ensemble des nombres premiers)
3) on regarde ce qu'est $(X=1)$ et on en déduit la relation voulue
Ca prend en tout moins d'une page (recto) en écrivant bien les choses mais il me semble pas que les probas soient très enseignées en prépa (là je me tompe peut-etre).
Sinon je vais essayer de chercher : Borde m'avait démontré l'égalité avec des outils de lycée une fois
Et cet exo est fait dans le recueil d'exos de l'ens de francinou-gianella (dans analyse tome 1 il me semble), mais je sais plus comment il fait. D'ailleurs cette question est suivie d'un truc du genre "montrer que le nombre de premiers $<x$ est un $o(x)$". Dur quand meme à montrer sans indication! -
si on suppose la série convergente (par l'absurde), alors $u_n=\prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1-p_k^{-1}}$ converge.
Or, pour $M\geq 1$,
$$\frac{1}{1-p_k^{-1}}=\sum_{\ell =0}^{+\infty }\,\frac{1}{p_k^{\ell }}\geq 1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\cdots +\frac{1}{p_k^M}$$
donc
$$u_n= \prod_{k=1}^{n}\sum_{\ell =0}^{+\infty }\,\frac{1}{p_k^{\ell }}\geq \prod_{k=1}^{n}\,\left ( 1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\cdots +\frac{1}{p_k^M} \right ) $$
Pour $M$ assez grand, ce produit contient les inverses de tous les entiers de $1$ à $p_n$, donc
$$u_n\geq \sum_{j=1}^{p_n}\,\frac{1}{j}$$
ce qui est absurde puisque le terme de droite tend vers $+\infty $ quand $n$ tend vers $+\infty $.
(source =FGN analyse 1, exo 3.18 page 153). -
tiens en cherchant le lien, j'ai trouvé ca : \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,253456,253549#msg-253549} qui répond à ta question normalement
D'ailleurs je suis assez d'accord avec je sais plus quel intervenant qui dit que cette écriture de zeta est faite soit trop finement et c'est pénible à lire soit trop rapidement et ca manque de rigueur
Et il y avait un autre sujet qui parlait des inégalités de Tchebicheff ($C_1\frac{ln(x)}{x} \leq \pi(x) \leq C_2\frac{ln(x)}{x}$) qui implique ton résultat (et un autre, très joli : pour tout $n$, il existe un nombre premier entre $n$ et $2n$)
C'est sans doute aller chercher un peu loin mais si tu veux voir à quoi ca ressemble, c'est fait dans le bouquin de francinou-gianella dans "exercice pour l'agreg" tome 1 d'algèbre -
Arf, je viens de trouver l'idée du développement en série de $\frac{1}{1-p_k^{-1}}$, et je luttais pour inverser le produit (fini) et la série (absolument convergente).
Par contre Aleg, tu voulais peut-être écrire : $$u_n \geq \prod \left( 1+\frac{1}{p_k}+\cdots + \frac{1}{p_n^M} \right)$$
??
Ryo : les probas ne sont pas du tout enseignées en filière mp. Mais ca m'interesse quand même ! Mais Je ne comprend pas la notation $\{ n \vert X\}$. Pour l'indépendance, suffit-il de regarder $P(A_{p1} \cap A_{p2})$ et montrer que ca vaut le produit ?
Merci pour votre aide.
Cordialement -
{\it Par contre Aleg, tu voulais peut-être écrire }.. : j'ai rectifié plusieurs fois mon message... Maintenant, il ne me semble pas qu'il y ait encore des erreurs.
-
Ok, merci pour la confirmation.
Encore merci pour ton aide : dans le lien pointé par ryo, l'inversion était justifiée par le théorème de Fubini en dimension k, encore moins accessible à un oral. Bref, merci de m'avoir tiré d'affaire.
Cordialement -
La notation (qui m'avait bloquée aussi d'ailleurs) désigne l'ensemble des $n$ qui divise $X$ (ou si tu préfères le $|$ signifie divise).
Pour la 1) il faut écrire cet ensemble comme l'union sur $k$ des évenements $\{X=nk\}$. Comme ils sont disjoints, on trouve ce qu'on veut rapidement
Pour l'indépendance ca ne suffit pas : il faut prendre $\{p_1,..p_k\}$ des premiers distincts (car on montre l'indépendance sur des ensembles finis) et montrer que $P(A_{p_1} \cap ... \cap A_{p_k})$ vaut le produit. Ce que tu fais permet de montrer l'indépendance 2 à 2 mais ca n'implique pas l'indépendance de la famille (mais par contre au niveau difficulté ca revient au meme ici)
la 3) est peut-etre plus dure donc je te mets la première égalité : $\{X=1\}=\bigcap(A_p^c)$ où l'intersection se fait sur tous les premiers et ce que je marque après signifie "complémentaire des $A_p$" (je sais pas trop comment ca va rendre en latex). Après tout roule normalemnt -
Naos,
Un petit conseil, si tu me le permets : ne parle jamais de $\zeta(1)$. De plus, les produits eulériens, très fréquents en arithmétique, sont présents dans tous les livres de théorie analytique des nombres.
Ainsi, pour revenir au mien, j'ai mis une démonstration niveau CPGE page 118, théorème 4.38, valable pour toute fonction arithmétique multiplicative dont la série sur les puissances de nombres premiers converge. Tu suis pas à pas la preuve de ce théorème appliqué à $f(n) = 1/n^s$ pour retrouver l'expression du produit eulérien de $\zeta$.
Bien sûr, une démarche identique peut être exécutée avec la fonction {\it complètement} multiplicative $f(n) = \chi(n)/n^s$ où $\chi$ est un caractère de Dirichlet modulo $q$ et l'on obtient ainsi le développement en produit eulérien des fonctions $L(s,\chi)$ de Dirichlet.
Borde. -
$\zeta(1)=\gamma$??
Enfin, dans le cas des corps des fonctions, c'est le cas.
Joaopa -
Vu qu'on a parlé des bouquins de Francinou-Gianella des oraux de l'ens, j'en profite pour me renseigner : il me semble qu'il était prévu d'en sortir 6 (3 en analyse, 3 en algèbre). Mais je ne me rappelle pas avoir vu le tome 3 que ce soit en algèbre ou en analyse.
Quelqu'un a des infos (j'ai mal lu, ils se sont arrêtés à 2, c'est bientôt en impression,..) ? -
ryo, je me pose la même question sur les FGN.
à première vue, le volume d'analyse 3 était initialement prévu et annoncé, mais n'est pas encore paru. Pour le volume d'algèbre 3, je ne sais pas. -
Quelles réponses instructives !!
ryo : j'ai rédigé la démonstration probabiliste, je joint le fichier. Peux-tu y jeter un coup d'oeil ? N'hésite pas, soit intransigeant ! Rien ne doit être laissé au hasard, signe d'une mauvaise compréhension de ma part. Bien sûr, je m'adresse à Ryo, mais tout le monde est invité à lire ! D'autant plus que les probas utilisées ne dépassent pas le niveau de la terminale.
Je pense que le point qui laisse le plus prise à la critique est le fait que la démonstration marche pour $s > 1$ et que je l'utilise pour $s=1$. Bon, je pense que ce n'est qu'une histoire de continuité bébête, mais tout de même. En fait, ce qui me chagrine est que la série diverge en $1$, donc...
Borde : Je te l'accorde, j'aurais dû avoir le réflexe d'aller voir dans ton livre. Je regarde et adapte la démonstration en détails demain.
De même Aleg, je m'entraînerais à la rédiger demain, pour être sûr de bien comprendre les rouages.
Merci encore pour vos réponses ! C'est vraiment agréables ces journées où l'on se couche en ayant appris tant de choses nouvelles.
Cordialement
-
je vois 2 trucs dans la preuve de l'identité :
1) il y a une faute de frappe dans la preuve de l'indépendance des $(A_p)$ : tu prends $p_0,..,p_k$ et après tu parles des événements $A_{p_1},..,A_{p_k}$
Bref, c'est pas important mais tant qu'à faire..
2) c'est un peu plus important, c'est tout à la fin de la preuve de l'identité, tu dis que la relation reste vraie quand $s=1$, je vois ce que tu veux dire mais le problème, c'est que les deux quantités sont infinies donc "ca se dit pas"
Mieux vaudrait (à mon avis) dire que cette relation est vraie pour $s>1$ et dire qu'on en déduit que le membre de droite tend vers $\infty$ puisqu'il est bien connu que celui de gauche tend vers $\infty$ quand $s$ tend vers $1$.
Mais sinon j'aime bien, c'est bien clair et détaillé. Bravo!
Ah, ca ne vient pas de ton pdf mais quand on dit : "soit $X$ une va de loi $P(X=n)=....$", je vois pas pouquoi $X$ existerait finalement, bon la somme sur $n \in N^*$ fait $1$ donc c'est un bon début mais est-ce qu'un probabiliste saurait me dire quand est-ce qu'on peut poser "soit $X$ une va qui suit telle loi", est-ce qu'il y a autre chose que "la somme fait $1$"?.
Donc ca ne vient pas de ce que tu as écrit mais c'est une question que je me pose -
En te relisant je m'apercoit que mon 2) est exactement ce qui te genait, bon ben je le dirai plutot de ma manière alors mais tu auras peut-etre un autre avis plus rigoureux
-
Dans l'application, je pense qu'il n'est pas bien vu d'écrire une somme ou un produit infini sans s'assurer avant de sa convergence.
Soit tu fixe $N$ et tu regarde ta somme (ou ton produit) de $1$ à $N$ puis tu fais tendre $N$ vers $\infty$
Ou alors ce que je fais, mais j'ignore si c'est bien correct, je suppose par l'absurde que la série des inverses premiers est convergente, du coup ca me donne le droit d'en parler ainsi que de ton produit infini.
Tu fais ta preuve exactement de la meme facon et la contradiction c'est tout betement de trouver que la série est divergente! Bon c'est signe que passer par l'absurde est totalment inutile mais du coup ca évite de se soucier des problèmes de convergences.
Ah et à mon avis suivre le conseil de borde de ne pas parler de $\zeta(1)$ est pertinent! -
Merci ryo de m'avoir relu.
Pour ce qui est de ta remarque sur "événement" et "indépendance" : est-ce correct si je parle des "événements" $A_n$ (ce qui me parle plus) et après dire qu'ils sont "disjoints" (au lieu d' "indépendant", qui fait référence aux VA) ?
Pour ce qui est de $s=1$, j'ai modifié ma rédaction en me rapprochant de ta méthode. Je pense que c'est plus correct, car je n'affirme pas que la relation est valable pour $s=1$.
Mais il doit bien y avoir une solution parfaitement rigoureuse puisque ce problème de $s=1$ se pose quelque soit la méthode utilisée pour démontrer la relation (pour la simple raison que considérer $s=1$ dès le début fait faire des opérations sur des séries divergentes, ce qui est considéré comme faux);
Merci
Cordialement
-
Comme tu me l'as proposé Borde, j'adapte la démonstration du théorème 4.38 à zêta.
Ca va jusqu'à la toute fin : lorsque tu fais la majoration $\vert \sum_{n \not \in E_x} f(n) \vert \leq \sum_{k > x } |f(n)|$
Ce que je ne comprend pas, c'est que $n$ n'est pas dans $E_x$, c'est qu'il possède au moins un facteur premier plus grand que $x$. Mais on ne précise pas l'exposant ! Autant, la minoration me semble évidente, mais la majoration me laisse perplexe à cause de cette histoire d'exposant.
Peux-tu m'expliquer ?
Merci
Cordialement -
Salut !
l'avant dernière ligne est une abomination :
-d'abord comme tu la fait remarqué la notation est douteuse : dans le membre de gauche, n est indice muet et la serie est divergente, dans le membre de droite n n'est plus muet et le terme est définit.
-ce que tu veux dire, c'est plutot que "le produit pour p premier p<n des 1/(1-1/p) est équivalent a ln n "
la il y a deux probleme :
1) ce n'est pas justifié : ce n'est pas parceque la forme "somme" est équivalente a ln n que cette équivalence ce reporte sur le produit !
2) c'est faux, en réalité ce produit est équivalent à exp(gamma)*ln n ou gamma est la constante d'euler (mais ceci est beaucoup plus compliqué à montré, il faudait utiliser un théorème due a Mertens postérieur au théorème des nombres premier)
tu ne peut donc pas prouvé simplement par ce chemin que la somme des 1/p, p premier <n est équivalente a ln ln n. et en effet il n'est pas extremement simple de justifier le produit eulérien (je prépare aussi les concour, et personellement je trouve la preuve probabilisté certe tres élegante mais déplacé à un oral de concour, vu que les probas ne sont pas aux programes, et que c'est un moyen déquisé d'esquiver les justification de permutation de serie qui elle sont bien au programes...).
Cependant, ton idée d'utiliser le produit eulérien est tous de meme tres bonne :
Ma solution serait de ne pas justfier entièrement le produit eulérien, mais d'en utiliser l'idée pour majorer la sommes des ln(1-P) pour p <n.
en effet, tu considère le produit des 1/(1-1/p) pour p<n, tu remplace le 1/(1-1/p) par somme des 1/p^k pour k entre 0 et +infinit.
et la tu te retrouve avec un produit finit de serie, que tu va donc pouvoir déveloper, et sans expliciter tous les termes (en gros, il apparaitrai la somme des 1/k, telle que k ne contions que des nombres premier <n dans ses diviseurs premier... ) tu peut montrer qu'il apparait au moins tous les nombres <n. et donc tu montre ainsi que la somme des ln(1-1/p) pour p<n est minoré par le logarithme de la serie harmonique.
voila ! si tu ne parvient pas à formaliser la fin de mon explication, je la rédigerai au propre, mais je pense que tu devrait t'en sortir la ^^ -
Je réponds à Naos, dont j'ignorais jusqu'à ce soir la question (excuse...).
Si $n \leqslant x$, alors $n \in E_x$. Par contraposée, si $n \not \in E_x$, alors $n > x$.
Cela répond-il à ta question correctement ?
Borde. -
J'ai l'impression que $\zeta(1)$ est aussi tabou que $\delta(0)$...
-
Que veux-tu dire ?
Moi j'ai rien contre Zeta(1) à partir du moment où on lui donne un sens bien défini, mais je n'en ai jamais vu pour le moment.
Mais utiliser "Zeta(1)" comme essaie de le faire Naos aboutit à un résultat faux. (le produit des 1/(1-1/p) pour p premier <n ~ ln n... )
Enfin, je ne comprends pas bien le sens de ta remarque
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Bonjour!
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