Regroupement de nombres premiers et intervalles

Prenez les cinq premiers nombres premiers : 2,3,5,7,11
On observe que les trois nombres consécutifs 20,21,22, regroupent ces 5 nombres:

20=2*2*5
21=3*7
22=2*11

19 et 23 aux extrémités sont des nombres premiers.

Prenons la suite des nombres premiers 2,3,5,7,.....P(n).
Il existe un intervalle dont certains nombres seront premiers et d'autres composites.
Notons-le [i,i+k]
Notons r la valeur entière de la racine carrée de i+k
r > P(n)
r supérieur à P(n) et inférieur à P(n+1)

Cet intervalle peut-il contenir tous les nombres premiers de 2 à P(n)?
Certains pouvant être en double, en triple ou plus.

Si cet intervalle, pour ce qui est de ces nombres composites, les contient tous, il est certain que les nombres restants sont tous premiers.

Peut-on retrouver cet intervalle?
Peut-on estimer la longueur de cet intervalle? autrement dit la valeur k?
Peut-on localiser cet intervalle? autrement dit retrouver la valeur i?
Si ces opérations sont possibles, on peut donc retrouver un intervalle composé de nombres premiers à 100%.