problème de théorème
Bonjour à tous !!
J'ai un problème avec un exercice. En fait j'ai la réponse mais je n'arrive pas à savoir d'où le résultat provient.
Voici l'énoncé :
Soient N41, le nombre de 4012 chiffres composé de 2006 fois le chiffre 4 et 2006 fois le chiffre 1, et N5 le nombre composé de 2006 fois le chiffre 5.
A quoi est égale la racine carrée de N41-N5 ?
J'ai trouvé (en trichant avec une calculatrice) 2006 fois le chiffre 6.
En fait, lorsque l'on prend le cas simple où l'on n'a un qu'un seul 4 et un seul 1, on a 41-5 = 36 et racine carrée de 36 = 6.
Avec 4411 - 55 = 4356 , on obtient 66 comme racine,
. . .
. . .
. . .
Avec N41 - N5 = (2005 fois le chiffre 4)3(2005 fois le chiffre 5)6
et la racine est (2006 fois le chiffre 6).
Mon problème est le suivant:
Quelles propriétés arithmétiques nous permettent de généraliser ce résultat ?
J'ai (sûrement mal) cherché sur internet et pas moyen de trouver une réponse satisfaisante.
Aussi je m'adresse à vous.
Pourriez-vous m'éclaircir s'il vous plaît ?
Remarque : J'ai essayé avec d'autres nombres et il se trouve que (n fois le chiffre 3) est la racine carrée de (n-1 fois le chiffre 1)0(n-1 fois le chiffre 8)9, cela marche aussi avec (n fois le chiffre 9) qui est la racine carrée de (n-1 fois le chiffre 9)8(n-1 fois le chiffre 0)1.
PS: Désolé pour la rédaction !!
J'ai un problème avec un exercice. En fait j'ai la réponse mais je n'arrive pas à savoir d'où le résultat provient.
Voici l'énoncé :
Soient N41, le nombre de 4012 chiffres composé de 2006 fois le chiffre 4 et 2006 fois le chiffre 1, et N5 le nombre composé de 2006 fois le chiffre 5.
A quoi est égale la racine carrée de N41-N5 ?
J'ai trouvé (en trichant avec une calculatrice) 2006 fois le chiffre 6.
En fait, lorsque l'on prend le cas simple où l'on n'a un qu'un seul 4 et un seul 1, on a 41-5 = 36 et racine carrée de 36 = 6.
Avec 4411 - 55 = 4356 , on obtient 66 comme racine,
. . .
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Avec N41 - N5 = (2005 fois le chiffre 4)3(2005 fois le chiffre 5)6
et la racine est (2006 fois le chiffre 6).
Mon problème est le suivant:
Quelles propriétés arithmétiques nous permettent de généraliser ce résultat ?
J'ai (sûrement mal) cherché sur internet et pas moyen de trouver une réponse satisfaisante.
Aussi je m'adresse à vous.
Pourriez-vous m'éclaircir s'il vous plaît ?
Remarque : J'ai essayé avec d'autres nombres et il se trouve que (n fois le chiffre 3) est la racine carrée de (n-1 fois le chiffre 1)0(n-1 fois le chiffre 8)9, cela marche aussi avec (n fois le chiffre 9) qui est la racine carrée de (n-1 fois le chiffre 9)8(n-1 fois le chiffre 0)1.
PS: Désolé pour la rédaction !!
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Réponses
alors on peut énoncer ton résultat de la fa\c con suivante.
{\bf Théorème :} Pour tout entier non nul $N$, on a~:
\begin{equation*}
4\cdot\sum\limits_{i=N}^{2N-1}10^i+
\sum\limits_{i=0}^{N}10^i-5\cdot\sum\limits_{i=0}^{N}10^i=
\Big(6\cdot\sum\limits_{i=0}^{N}10^i\Big)^2.
\end{equation*}
Voici une preuve~:
\begin{equation*}
4\cdot10^N\cdot\sum\limits_{i=0}^{N-1}10^i+
\sum\limits_{i=0}^{N}10^i-5\cdot\sum\limits_{i=0}^{N}10^i=
\Big(\sum\limits_{i=0}^{N}10^i\Big)(4\cdot 10^N+1-5)=4(10^N-1)\Big(\sum\limits_{i=0}^{N}10^i\Big).
\end{equation*}
Mais $\sum\limits_{i=0}^{N}10^i$ vaut $(10^N-1)/9$ donc on trouve~:
\begin{equation*}
36\Big(\sum\limits_{i=0}^{N}10^i\Big)^2
\end{equation*}
qui est bien le carré de ce qu'on voulait.
Watercat
Comment connais-tu ce théorème ?
Si tu l'as trouvé sur un site, pourrais-tu me l'indiquer s'il te plaît ?
je ne le connaissais pas, j'ai lu ta question, c'est tout.
Watercat