Arithméticiens du forum, au secours
dans Arithmétique
Bonjour, bonjour,
j'ai un joli problème d'arithmétique qui se pose à moi, et je suis bien ennuyé avec...
Le contexte est le suivante. On se donne une extension biquadratique de $K=\mathbb{Q}(i)$, disons $L=K(\sqrt{d},\sqrt{d'})$. On note $\sigma,\tau$ deux générateurs du groupe de Galois de $L/K$.
On pose $$G=\{u\in L^\times \mid N_{L/K}(u)=1\}$$
et $$H=\left\{\frac{\sigma(z_1)}{z_1}\frac{\tau(z_2)}{z_2},\ z_1, z_2\in L^\times.\right\}$$
On peut montrer que $G/H$ est un groupe fini, de cardinal $2^{s-1}$, où $s$ est le nombre de places pour lesquelles le groupe de Galois du complété est d'ordre $4$.
Question : Comment trouver {\bf explicitement} un élément non trivial de $G/H$ ?
Je m'intéresse au cas $d=2, d'=3$.
Toutes les idées sont bienvenues... (Borde ? )
Amicalement,
j'ai un joli problème d'arithmétique qui se pose à moi, et je suis bien ennuyé avec...
Le contexte est le suivante. On se donne une extension biquadratique de $K=\mathbb{Q}(i)$, disons $L=K(\sqrt{d},\sqrt{d'})$. On note $\sigma,\tau$ deux générateurs du groupe de Galois de $L/K$.
On pose $$G=\{u\in L^\times \mid N_{L/K}(u)=1\}$$
et $$H=\left\{\frac{\sigma(z_1)}{z_1}\frac{\tau(z_2)}{z_2},\ z_1, z_2\in L^\times.\right\}$$
On peut montrer que $G/H$ est un groupe fini, de cardinal $2^{s-1}$, où $s$ est le nombre de places pour lesquelles le groupe de Galois du complété est d'ordre $4$.
Question : Comment trouver {\bf explicitement} un élément non trivial de $G/H$ ?
Je m'intéresse au cas $d=2, d'=3$.
Toutes les idées sont bienvenues... (Borde ? )
Amicalement,
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
je ne vois pas pourquoi il n'y aurait qu'un nombre fini de places pour lesquelles le groupe de Galois du complété est d'ordre 4.
Watercat
Borde.
Watercat: excuse-moi je me suis trompé : s est le nombre de places $v$ de $K$ tel que le groupe de décomposition $G^v$ d'un prolongement de $v$ à L soit égal
$G$. Et ça, apparemment c'est fini.
Borde: En fait, $G/H$ est le groupe de $R$-équivalence du tore $T$ des éléments de norme $1$ de $L/K$.cf La $R$-équivalence sur les tores: Colliot-Thélène-Sansuc. (on le trouve sur numdam.org)
{\bf Ma question est en fait}: il y a -t-il un moyen explicite d'attraper des éléments de norme $1$ d'une extension d'un corps de nombres autre que ceux qui sont évidents?
Je ne les demande pas tous, car $T$ n'est pas une variété $K$-rationnelle...
Tu peux néanmoins contacter Denis Simon qui doit être à l'université de Caen et qui a fait une partie de sa thèse sur les équations aux normes (si mes souvenirs sont exacts).
Borde.
Je vais aussi peut-être écrire à Colliot-Thélène, vu que je le connais.
Hé, Sylvain, ne fantasme pas trop, car D. Simon a d'abord fait sa thèse à Bordeaux (si je ne m'abuse), avant de migrer à Caen.
D'ailleurs, s'il nous lit, il pourra lui-même confirmer ou infirmer !
Voir à \lien {http://www.math.unicaen.fr/\~{}simon/}
Borde.
Borde.
une question pour toi: il y a -t-il un moyen systématique de calculer les groupes de décomposition d'une extension biquadratique? Chuis nul en ramification!!!
Par exemple, pour $L/K$ avec $L=\mathbb{Q}(i)(\sqrt{2},\sqrt{3})$ et
$K=\mathbb{Q}(i)$.
Je cherche le nombre de places $v$ de $K$ pour lesquels le groupe de décomposition d'une extension de $v$ à $L$ est le groupe de Galois tout entier.
(i) La définition
(ii) le fait que, si $\mathfrak {P}\mid \mathfrak {p}$ avec $\mathfrak {p}$ non ramifié dans $\mathcal {O}_{\mathbb {L}}$, alors $D_{\mathfrak {P}}$ est cyclique. De plus, si $\mathfrak {p}$ est inerte, alors le frobénius $\left ( \mathfrak {P}, \mathbb {L} / \K \right )$ engendre $\mbox{Gal} (\mathbb {L} / \K)$.
J'espère que cela t'aura aidé un tantinet...
Borde.
Donc en fait, dans le cas où $L/K$ est galoisienne non cyclique, il suffit de regarder ce qui se passe aux places de $K$ ramifiées dans $L$.
Merci encore!
Dans le point (ii) seconde partie, il y a en fait équivalence entre le fait que $\mathfrak {p}$ soit inerte et le fait que le Frobénius engendre $\mbox {Gal} (\mathbb {L} / \K)$ (je crois avoir édité une preuve ici il y a un an ou plus).
Enfin, je suis d'accord ton message précédent.
Bon courage,
Borde.
L'extension $(\mathcal {O}_{\mathbb {L}}/ \mathfrak {P}) / (\mathcal {O}_{\K}/\mathfrak {p})$ est une extension de corps finis du type $\mathbb {F}_{\mathcal {N}(\mathfrak {p})^f} / \mathbb {F}_{\mathcal {N}(\mathfrak {p})}$ où $\mathcal {N}$ désigne la norme sur les idéaux entiers de $\K$ et $f$ est le degré résiduel commun des idéaux premiers au-dessus de $\mathfrak {p}$. Ainsi, le groupe de Galois correspondant est cyclique, et l'extension $D_{\mathfrak {P}} / I_{\mathfrak {P}}$ l'est aussi. Lorsque $\mathfrak {p}$ est non ramifié, le groupe d'inertie est trivial.
Là encore, j'espère avoir été suffisamment clair avec tous ces aspects techniques.
Borde.
On suppose que l'extension $\mathbb {L} / \K$ est définie par le polynôme $P(X) \in \mathcal {O}_{\K} [X]$ {\bf unitaire} et {\bf irréductible} sur $\mathcal {O}_{\K}$, et tel que sa réduction $\overline {P}(X)$ dans $\left ( \mathcal {O}_{\K} / \mathfrak {p} \right ) [X]$ soit {\bf sans facteur carré}. Alors on a : $$D_{\mathfrak {P}} \simeq \mbox {Gal} \left ( \overline {P} / ( \mathcal {O}_{\K} / \mathfrak {p} ) \right ).$$
Borde.