A quoi sert Bezout???
dans Arithmétique
Bonjour,
je cherche des exercices utilisant le théorème de Bézout...
simplement à quoi sert-il à un niveau lycée, autrement que pour résoudre une équation diophantienne?
Auriez-vous des exemples d'exercices originaux à me proposer utilisant l'identité de Bézout?
En vous remerciant,
Bidou.
je cherche des exercices utilisant le théorème de Bézout...
simplement à quoi sert-il à un niveau lycée, autrement que pour résoudre une équation diophantienne?
Auriez-vous des exemples d'exercices originaux à me proposer utilisant l'identité de Bézout?
En vous remerciant,
Bidou.
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Réponses
Bezout sert déjà à démontrer le Th de Gauss.
Il sert également a démontrer que si $n$ est premier, alors pour tout entier $k$ qui n'est pas un multiple de $n$, il existe un entier $k^{'}$ tel que $k.k^{'}$ est congru a 1 modulo $n$.
Il doit je pense exister d'autres application.
Si $r$ est une racine rationnelle, alors c'est un entier.
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,284594,284837#msg-284837}
Si $n$ te paraît trop dur à gérer pour des TS, on peut dire $n=3$ (ou $n=2$)
[Activation du lien. AD]
[Réparation de l'activation du lien. lbr]
Edit du 11/04, pour si un jour quelqu'un fait une recherche et tombe sur ce fil : avec Bezout, on peut montrer facilement que si a et b sont premiers entre eux aors a+b et ab le sont aussi (et moult autres énoncés du même type). On peut aussi faire sans, mais je trouve quand même le recours à Bezout très agréable !
Cette relation particulière permet d'obtenir d'autres propriétés du pgcd :
(i) On peut vérifier aisément que $d = \mbox {pgcd} (a,b)$ équivaut à $d \mid a$, $d \mid b$ et $c \mid a$ et $c \mid b$ $\Rightarrow$ $c \mid d$.
(ii) La relation connue (et utile) $\mbox {pgcd} (ka,kb) = |k| \mbox {pgcd}(a,b)$ provient de (i) ci-dessus, et donc de Bezout.
Définissons le {\it pgcd unitaire} de deux entiers $a$ et $b$ comme étant le plus grand diviseur unitaire commun à $a$ et $b$ (il est habituellement noté $\mbox {pgcd}^{*}(a,b)$). On montre qu'il ne vérifie pas de relation de Bezout, et, par suite, les affirmations ci-dessus sont fausses pour le pgcd unitaire.
Borde.