Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
dans Arithmétique
Bonjour,
Je suis à la recherche de références (livre ou web) démontrant le résultat suivant : les seuls anneaux d'entiers des corps quadratiques $\mathbb{Q}(i\sqrt{d})$ avec $d>0$ principaux sont obtenus pour les valeurs 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163.
Ce résultat a été établi en 1966 indépendamment par deux mathématiciens dont je n'ai plus le nom en tête !
J'ai également lu que Clark a démontré en 1993 que l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{69})$ est euclidien, mais pas pour la norme associée à cet anneau. Savez-vous où peut trouver une preuve de ce résultat ?
Merci d'avance,
Gilles.
Je suis à la recherche de références (livre ou web) démontrant le résultat suivant : les seuls anneaux d'entiers des corps quadratiques $\mathbb{Q}(i\sqrt{d})$ avec $d>0$ principaux sont obtenus pour les valeurs 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163.
Ce résultat a été établi en 1966 indépendamment par deux mathématiciens dont je n'ai plus le nom en tête !
J'ai également lu que Clark a démontré en 1993 que l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{69})$ est euclidien, mais pas pour la norme associée à cet anneau. Savez-vous où peut trouver une preuve de ce résultat ?
Merci d'avance,
Gilles.
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Réponses
Joaopa
Joaopa
PS: Voici un lien intéressant : http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1983-1984__26__309_0
je complète ta question et la réponse de Joaopa.
I. {\bf Corps de nombres abéliens imaginaires de degré $> 2$ principaux}.
En remarquant que la conjugaison complexe est toujours un automorphisme non trivial d'ordre 2 de tout corps de nombres imaginaire abélien, on en déduit via Lagrange que les degrés de tels corps sont pairs.
Contentons-nous ici d'explorer les corps de degré $4$.
1. {\bf degré $4$ non cyclique}.
Ce sont les corps composés de deux corps quadratiques, donc de la forme $\mathbb {K} = \mathbb {Q} (\sqrt a, \, \sqrt b)$.
{\it Il y a exactement 47 corps bicycliques biquadratiques principaux}.
2. {\bf Degré $4$ cyclique}.
{\it Il y a exactement 7 corps cycliques quartiques imaginaires principaux. Ce sont les sous-corps quartiques des corps cyclotomiques $\mathbb {Q}( \zeta_p)$ avec $p=2,13,29,37,53,61$ plus le corps} $\mathbb {Q} (\sqrt {\sqrt 2 -2})$.
II. {\bf Corps quadratiques imaginaires de nombre de classes égal à} $2$.
{\it Il y a exactement 18 corps quadratiques imaginaires de nombre de classes égal à $2$. Ce sont les corps de discriminants} $-15,-20,-24,-35,-40,-51,-52,-88,-91,-115,-123,-148,-187,-232,-235,-267,-403,-427$.
III. {\bf Corps cyclotomiques de nombre de classes égal à} $2$.
{\it Seuls les deux corps cyclotomiques $\mathbb{Q}(\zeta_{39})$ et $\mathbb{Q}(\zeta_{56})$ ont un nombre de classes égal à} $2$.
IV. {\bf Les références}.
{\bf A. Baker}, {\it Linear forms in the logarithms of algebraic numbers}, Mathematika {\bf 13} (1966), 204--216.
{\bf H. M. Stark}, {\it A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one}, Mich. Math. J. {\bf 14} (1967), 1--27.
{\bf K. Uchida}, {\it Imaginary abelian number fields with class number one}, Tohoku Math. J. {\bf 24} (1972), 487--499.
{\bf C. B. Setzer}, {\it The determination of all imaginary, quartic, abelian number fields with class number 1}, Math. Comp. {\bf 35} (1980), 1383--1386.
{\bf Baker \& Stark}, {\it On a fundamental inequality in number theory}, Annals of Math. {\bf 94} (1971), 190--199.
{\bf J. M. Masley}, {\it Solution to the class number two problem for cyclotomic fields}, Inventiones Math. {\bf 28} (1975), 243--244.
Borde.
Merci pour vos précieuses références.
Au passage, je signale que l'article de Stark (A complete determination of the complex quadratic fields of class-number) est disponible sur Numdam : onehttp://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.mmj/1028999653
Et également un article de Masley (Solution of small class number problems for cyclotomic fields.) qui liste les corps cyclotomiques dont le nombre de classe est un entier entre 2 et 10 : http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1976__33_2_179_0
Bonne journée
J'ajoute la référence et un résumé de l'article de Clark auquel Gilles fait référence:
Clark, David A. A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean.
Manuscripta Math. 83 (1994), no. 3-4, 327--330.
Abstract : The classification of rings of algebraic integers which are Euclidean (not necessarily for the norm function) is a major unsolved problem. Assuming the Generalized Riemann Hypothesis, Weinberger [7] showed in 1973 that for algebraic number fields containing infinitely many units the ring of integers R is a Euclidean domain if and only if it is a principal ideal domain. Since there are principal ideal domains which are not norm-Euclidean, there should exist examples of rings of algebraic integers which are Euclidean but not norm-Euclidean. In this paper, we give the first example for quadratic fields, the ring of integers of Q(\sqrt{69}).
Gilles.
Merci.
Borde.
On peut donc présumer d'une grande qualité de cet ouvrage (je possède son monographe sur les méthodes de crible qui est un must).
Quel est le nom de "l'autre mathématicien" ?
Borde.