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Principalité des anneaux d'entiers quadratiques

Envoyé par Gilles 
Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Bonjour,

Je suis à la recherche de références (livre ou web) démontrant le résultat suivant : les seuls anneaux d'entiers des corps quadratiques $\mathbb{Q}(i\sqrt{d})$ avec $d>0$ principaux sont obtenus pour les valeurs 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163.

Ce résultat a été établi en 1966 indépendamment par deux mathématiciens dont je n'ai plus le nom en tête !

J'ai également lu que Clark a démontré en 1993 que l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{69})$ est euclidien, mais pas pour la norme associée à cet anneau. Savez-vous où peut trouver une preuve de ce résultat ?

Merci d'avance,
Gilles.
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
C'est fait dans le livre de Baker Transcendental number theory

Joaopa
Sinon pour montrer que ce sont les seuls avec d <200 (je crois) c'est le sujet de Math générale Agrégation 1989 . (du temps où le sujets démontraient des trucs intéressants)
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Les 2 personnes qui ont donné la liste complète sont Baker et Stark. En fait Heegner en 1958 avait déjà montré ce résultat, mais tout le monde croyait à tort qu'il y avait un trou dans sa démonstration. Stark lui-même a conclu que Heegner avait effectivement une démonstration correcte.

Joaopa

PS: Voici un lien intéressant : [www.numdam.org]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Bonsoir Gilles,

je complète ta question et la réponse de Joaopa.


I. {\bf Corps de nombres abéliens imaginaires de degré $> 2$ principaux}.

En remarquant que la conjugaison complexe est toujours un automorphisme non trivial d'ordre 2 de tout corps de nombres imaginaire abélien, on en déduit via Lagrange que les degrés de tels corps sont pairs.

Contentons-nous ici d'explorer les corps de degré $4$.


1. {\bf degré $4$ non cyclique}.

Ce sont les corps composés de deux corps quadratiques, donc de la forme $\mathbb {K} = \mathbb {Q} (\sqrt a, \, \sqrt b)$.

{\it Il y a exactement 47 corps bicycliques biquadratiques principaux}.


2. {\bf Degré $4$ cyclique}.

{\it Il y a exactement 7 corps cycliques quartiques imaginaires principaux. Ce sont les sous-corps quartiques des corps cyclotomiques $\mathbb {Q}( \zeta_p)$ avec $p=2,13,29,37,53,61$ plus le corps} $\mathbb {Q} (\sqrt {\sqrt 2 -2})$.


II. {\bf Corps quadratiques imaginaires de nombre de classes égal à} $2$.

{\it Il y a exactement 18 corps quadratiques imaginaires de nombre de classes égal à $2$. Ce sont les corps de discriminants} $-15,-20,-24,-35,-40,-51,-52,-88,-91,-115,-123,-148,-187,-232,-235,-267,-403,-427$.


III. {\bf Corps cyclotomiques de nombre de classes égal à} $2$.

{\it Seuls les deux corps cyclotomiques $\mathbb{Q}(\zeta_{39})$ et $\mathbb{Q}(\zeta_{56})$ ont un nombre de classes égal à} $2$.


IV. {\bf Les références}.

{\bf A. Baker}, {\it Linear forms in the logarithms of algebraic numbers}, Mathematika {\bf 13} (1966), 204--216.

{\bf H. M. Stark}, {\it A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one}, Mich. Math. J. {\bf 14} (1967), 1--27.

{\bf K. Uchida}, {\it Imaginary abelian number fields with class number one}, Tohoku Math. J. {\bf 24} (1972), 487--499.

{\bf C. B. Setzer}, {\it The determination of all imaginary, quartic, abelian number fields with class number 1}, Math. Comp. {\bf 35} (1980), 1383--1386.

{\bf Baker \& Stark}, {\it On a fundamental inequality in number theory}, Annals of Math. {\bf 94} (1971), 190--199.

{\bf J. M. Masley}, {\it Solution to the class number two problem for cyclotomic fields}, Inventiones Math. {\bf 28} (1975), 243--244.


Borde.
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Bonjour à tous,

Merci pour vos précieuses références.

Au passage, je signale que l'article de Stark (A complete determination of the complex quadratic fields of class-number) est disponible sur Numdam : one[projecteuclid.org]

Et également un article de Masley (Solution of small class number problems for cyclotomic fields.) qui liste les corps cyclotomiques dont le nombre de classe est un entier entre 2 et 10 : [www.numdam.org]

Bonne journée
Bonjour à tous,

J'ajoute la référence et un résumé de l'article de Clark auquel Gilles fait référence:

Clark, David A. A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean.
Manuscripta Math. 83 (1994), no. 3-4, 327--330.

Abstract : The classification of rings of algebraic integers which are Euclidean (not necessarily for the norm function) is a major unsolved problem. Assuming the Generalized Riemann Hypothesis, Weinberger [7] showed in 1973 that for algebraic number fields containing infinitely many units the ring of integers R is a Euclidean domain if and only if it is a principal ideal domain. Since there are principal ideal domains which are not norm-Euclidean, there should exist examples of rings of algebraic integers which are Euclidean but not norm-Euclidean. In this paper, we give the first example for quadratic fields, the ring of integers of Q(\sqrt{69}).
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Merci fb pour cette référence. Si cela intéresse quelqu'un, l'article est dispo ici : [www.digizeitschriften.de]

Gilles.
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Moi, ça m'intéresse.

Merci.

Borde.
Bombieri et un autre mathémmaticien viennent de sortir un livre sur les hauteurs. Que vaut-il ?? merci
Re: Principalité des anneaux d'entiers quadratiques
il y a onze années
Je ne connais pas ce livre, mais connais bien les travaux de Bombieri, qui est l'un des meilleurs mathématiciens au monde dans son domaine.

On peut donc présumer d'une grande qualité de cet ouvrage (je possède son monographe sur les méthodes de crible qui est un must).

Quel est le nom de "l'autre mathématicien" ?

Borde.
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