Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
220 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Un premier long

Envoyé par Cucherat 
Un premier long
il y a douze années
avatar
Un nombre entier dont l'écriture décimale commence
par $47$ (à gauche) se trouve divisé par $8$ quand
on déplace le $47$ à la fin (à droite).
Quel est ce nombre ?
Ce n'est pas $47192$ car $19247$ est différent de $47192/8$


Amicalement
Cucherat
Re: Un premier long
il y a douze années
avatar
bonjour Cucherat,

deux méthodes "naïves" sont possibles pour trouver ton nombre n proche en proche
1°) appliquer l'algorithme de multiplication 7x8 = 56 ... donc le dernier chiffre de n est 6 , ensuite 4x8 +5 = 37 donc le chiffre précédent est 7 etc ...
2°) appliquer l'algorithme de division: comme 47 = 5x8 + 7 le chiffre de tête de n est 5 etc... ( en supposant que le chiffre de tête n'est pas 0 ... sinon un tel cas s'étudie de façon analogue)

Il est clair que si ton problème admet une solution, ces méthodes montrent qu'il en existe une infinité ... en concaténant les chiffres d'une solution et de n .

N.B. j'ai utilisé déjà une méthode analogue pour résoudre un autre problème sur ce forum

Sincèrement,


Galax



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par galax.
Re: Un premier long
il y a douze années
avatar
Bonjour Galax

Ma réponse donne un nombre (je pense que c'est le plus petit)

Cordialement
Cucherat
lg
Re: Un premier long
il y a douze années
bonjour

59047

47*8=376

472/8=59

il suffit de placer le 0 entre 59 et 376

bonne journée
Re: Un premier long
il y a douze années
avatar
salut Cucherat,

J'arrive avoir une minute,

on a bien
4705882352941176 = 8 x 0588235294117647 en admettant que le chiffre de tête peut être 0

Ce problème induit des questions suivantes:

Trouver des nombres entiers dont l'écriture décimale commence
par ab (à gauche) se trouve divisé par c quand
on déplace le ab à la fin (à droite).



Trouver des nombres entiers dont l'écriture décimale commence
par a (à gauche) se trouve divisé par c quand
on déplace le a à la fin (à droite).

....



Sincèrement,

Galax
Re: Un premier long
il y a douze années
avatar
Bonsoir,

Oui Galax, c'est bien mon nombre.

C'est l'écriture de 8/17 dans un
précédent fil qui a été le point
de départ.

Soit $N=47ab...m$ le nombre initial.
On pose $x=0,47ab..m47ab..m47ab..m....$
Alors $100x=47+\frac{x}{8}$
soit $799x=47.8$ donc $x=\frac{8}{17}$
Pour trouver $N$ on calcule $\frac{8}{17}$
Le titre vient du fait que $\frac{8}{17}$ est
de période 16




Amicalement
Cucherat
Re: Un premier long
il y a douze années
Bonsoir,

On peut aussi procéder ainsi :

On écrit $10^k\alpha+\beta=c(100\beta+\alpha)$, soit $(10^k-c)\alpha=(100c-1)\beta$.
Dans le problème posé par Cucherat, $\alpha=47$ et $c=8$ d'où $100c-1=799=47\times 17$. On en est donc à $10^k-8=17\,\beta$. Arrivé là, comme je suis flemmard, je demande à Maple
> msolve(10^k=8, 17);
et il me répond ${k = 14+16\, Z1}$. Je trouve donc la première solution comme ci-dessus
$$10^{14}\times 47+ (10^{14}-8)/17 = 4705882352941176$$
et les suivantes s'obtiennent bien par répétition.

Si on modifie légèrement le problème de Cucherat en remplaçant 8 par 7, la première solution est

470672389127324749642346208869814020028612303290414878397711015736766809\
72818311874105865522174535050071530758226037195994277539341917024320\
45779685264663805436337625178826895565092989985693848354792560801144\
492131616595135908440629

Cordialement,

MC
Re: Un premier long
il y a douze années
avatar
Merci, Michel Coste, pour les précisions.

Amicalement
Cucherat
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 579, Messages: 1 374 588, Utilisateurs: 25 611.
Notre dernier utilisateur inscrit Ursus le philosophe.


Ce forum
Discussions: 5 251, Messages: 64 142.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page